дению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси. Если этот угол острый,— проекция положитель на, если тупой,— отрицательна, а.если сила перпендикулярна оси,— ее проекция на ось равна нулю. Так, для сил, изображенных на рис.
FX= F cos a =ab, Qx=Q cos а х= — Q cos <p=—de, Z5*—0. |
(4) |
Проекцией силы T на плоскость Оху называется вектор |
F *„= |
заключенный между проекциями начала и конца силы F на ату плоскость (рис. 19). Таким образом, в отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как она характеризуется не только своими числовыми значениями,
но и |
направлением |
в |
|
|
|
||
плоскости |
Оху. |
По |
мо |
|
|
|
|
дулю |
Fxu—Fios 6, |
где |
|
|
|
||
0 — угол |
между направ- |
|
|
|
|||
лением силы F и ее про |
|
|
|
||||
екции ¥ ху. |
|
а гг ь |
й Я, |
« |
pz |
||
В |
некоторых |
случа |
|
|
|
||
ях |
для |
нахождения |
Рис‘ |
18 |
|
||
проекции |
силы |
на |
ось |
|
|
|
|
удобнее найти сначала ее проекцию на плоскость, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию на плоскость спроектиро вать на данную ось. Например, в случае, изображенном на рис. 19, найдем таким способом, что
FX= F XV cos <p=F cos 0 cos <p, F V= F XV sin <p=F cos 0 sin <p. |
(5) |
А н а л и т и ч е с к и й с п о с о б з а д а н и я с и л . |
Для |
аналитического задания силы необходимо выбрать систему коорди натных осей Охуг, по отношению к которой будет определяться на
|
X |
Рис. 19 |
Рис. 20 |
правление силы в пространстве. В механике мы будем пользоваться правой системой координат, т. е. такой системой, в которой крат чайшее совмещение оси Ох с осью Оу происходит, если смотреть с положительного конца оси Ог, против хода часовой стрелки (рис. 20).
21
Вектор, изображающий силу F, можно построить, если извест ны модуль F этой силы и углы а , р, у, которые сила образует с ко ординатными осями. Таким образом, величины F, я , р, у и задают
силу F. Точка А приложения силы должна быть задана отдельно ее координатами х, у, г.
Для решения задач механики удобнее задавать силу ее проекци ями Fx, F tt, F z на координатные оси. Зная эти проекции, можно опре делить модуль силы и углы, которые она образует с координатными осями, по формулам:
F = V P x+ F l + F l
cos a = Fx/F, cos p = Fy/F, cos y = F jF .
Если все рассматриваемые силы расположены в одной плоскости, то каждую из сил можно задать ее проекциями на две оси Ох и Оу. Тогда формулы, определяющие силу по ее проекциям, примут вид:
F = V H |
+ Fy'y cos а = Fx/F, cos р = Fg/F. |
(7) |
А н а л и т и ч е с |
к и й с п о с о б с л о ж е н и я |
с и л . Пе |
реход от зависимостей между векторами к зависимостям между их проекциями осуществляется с помощью следующей теоремы гео метрии: проекция вектора суммы на какую-нибудь ось равна алгебраи ческой сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. Согласно
этой теореме, если R есть сумма сил Fu F t, . . ., Fn, т. е. R = 2 F h, то
R x = 2F kx, R v = 'S,Fkv, R z = ^ F kl. |
(8) |
Зная R x, R v и Rz, по формулам (6) находим:
R - V R i + R f + R l
= R x/R, cosp = R y/R, cosy — R z/R.
Формулы (8), (9) и позволяют решить задачу о сложении сил аналитически.
Для сил, расположенных в одной плоскости, соответствующие
формулы принимают вид: |
|
|
= |
R y ~^F)iy> |
\ |
R » V R \ + |
cos а - R J R , cos p = R y/R. |
) |
Если силы заданы их модулями и углами-с осями, то для приме нения аналитического метода сложения надо предварительно вычис лить проекции этих сил на координатные оси.
Задач* 3. Найти сумму трех лежащих в одной плоскости сил (рис. 21, а),
если дано: |
|
|
Р = |
17,32 Н , Г = 1 0 Н , Р = 2 4 Н , <р=30°,- * = 6 0 °. |
|
Р е ш е н и е . |
Вычисляем проекции заданных сил на координатные оси] |
|
FX~ F cos <р=15 Н , |
Т х — — Т cos *)>=—5 Н , Р * = 0; |
|
F f = — F sin |
8,66 Н , |
Т в= Т sin iJj= 8,66 Н , Р , = - Р = —24 Н . |
22
Тогда по формулам (10)
R x = 1 5 - 5 = 10 Н, R y= - 8 ,6 6 + 8 ,6 6 - 2 4 = - 2 4 Н.
Следовательно,
R = V 10»+ (-2 4 )» = 26 Н ; cos а = 5/13, cos fl = — 12/13.
Окончательно R = 2 6 Н, а = 6 7 ° 2 0 \ Р=157°20'.
Д ля решения той же задачи геометрическим методом надо, выбрав соответ
ствующий масштаб (например, в 1 см — 10 Н ), построить из сил Р , F и Т сило
вой многоугольник (рис: 21, б). Его замыкающая ad и определяет в данном ма
сштабе модуль н направление R . Если, например, при измерении получим е й » « 2 ,5 см, то, следовательно, /?~25 -Н с ошибкой по отношению к точному решению около 4% .
§ в. РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ
Для равновесия системы сходящихся сил, приложенных к твер дому телу, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая, а следовательно, и главный вектор этих сил (см. § 4) были равны нулю. Условия, которым при этом должны удовлетворять сами силы, мож но выразить в геометрической или в аналитической форме.
1. Г е о м е т р и ч е с к о е у с л о в и е р а в н о в е с и я .
Т^к как главный вектор R системы сил определяется как замыкаю щая сторона силового многоугольника, построенного из этих сил
(см. рис. 15), тоТ? может обратиться в нуль только тогда, когда ко нец последней силы в многоугольнике совпадает с началом первой силы, т. е. когда многоугольник замкнется.
Следовательно, для равновесия системы сходящихся сил необхо димо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из
втих |
сил, был замкнутым. |
2. |
А н а л и т и ч е с к и е у с л о в и я р а в н о в е с и я . Аналити |
чески модуль главного вектора системы сил определяется формулой
R = V R l + R I + R I
Так как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, то R обратится в нуль только тогда, когда одновременно R x—0, /?„=(), R z—0, т. е., как это следует из формул (8), когда действующие на тело силы будут удовлетворять равенствам:
2 / ^ = 0, |
= 0, 2 ^ = 0. |
(11) |
23
Равенства (11) выражают условия равновесия в аналитической форме: для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каж дую из трех координатных осей были равны нулю.
Если все действующие на тело сходящиеся силы лежат в одной плоскости, то они образуют плоскую систему сходящихся сил. В слу чае плоской системы сходящихся сил получим, очевидно, только два условия равновесия:
|
2F*X= |
0, 2 / ^ = 0. |
(12) |
3. |
Т е о р е м а о т р е х |
с и л а х . При решении |
задач статики |
иногда удобно пользоваться следующей теоремой: если твердое те ло находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересека ются в одной точке.
Д ля доказательства теоремы рассмотрим сначала какие-нибудь
две из действующих на тело сил, например и Ft . Так как по усло виям теоремы эти силы лежат в одной плоскости и не параллельны, то их линии действия пересекаются в некоторой точке А (рис. 22). Приложим силы F! и F* в этой точке и заменим их равнодействующей R . Тогда на тело будут действовать две силы: сила R и сила F,, приложенная в какой-то точке В тела. Если тело при этом находит ся в равновесии, то силы R и F , должны быть направлены по одной
прямой, т. е. вдоль А В . Следовательно, линия действия силы Ft тоже проходит через точку А , что и требовалось доказать.
Обратная теорема места не имеет, т. е. если линии действия трех сил пересекаются в одной точке, то тело под действием этих сил может и не находиться в равновесии; следовательно, теорема выра жав!' только необходимое условие равновесия тела под действием
Пример. Рассмотрим брус А В , закрепленный в точке А шарниром и опираю щийся на выступ D (рис. 23). На этот брус действуют три силы: сила тяжести Р~,
реакция W p выступа и реакция R д шарнира. Так как брус находится в равновесии, то линии действия этих сил должны пересекаться в одной точке. Линии действия
сил Р~и известны и они пересекаются в точке К. Следовательно, линия дей
ствия приложенной в точке А реакции R x тоже должна пройти через точку К , т. е. должна быть направлена вдоль прямой А К. Теорема о трех силах позволила в этом случае определить заранее неизвестное направление реакции шарнира А .
24
f 7. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СТАТИКИ
Решаемые методами статики задачи могут быть одного из следу ющих двух типов: 1) задачи, в которых известны (полностью или частично) действующие на тело силы и требуется найти, в каком положении или при каких соотношениях между действующими сила ми тело будет находиться в равновесии (задачи 4, 5); 2) задачи, в которых известно, что тело заведомо находится в равновесии и тре буется найти, чему равны при этом все или некоторые из действую щих на тело сил (задачи 6, 7, 8 и др.). Реакции связей являются величинами, наперед неизвестными во всех задачах статики.
Приступая к решению любой задачи, следует прежде всего ус тановить, равновесие какого тела (или каких тел) надо рассмотреть, чтобы найти искомые величины. Процесс решения сводится к сле дующим операциям.
1. В ы б о р т е л а ( и л и т е л ) , р а в н о в е с и е к о т о р о г о д о л ж н о б ы т ь р а с с м о т р е н о . Для решения задачи надо рассмотреть равновесие тела, к которому приложены заданные и искомые силы или силы, равные искомым (например, если надо найти давление на опору, то можно рассмотреть равнове сие тела, к которому приложена численно равная этой силе реакция опоры и т. п.).
Когда заданные силы действуют на одно тело, а искомые на дру гое или когда те и другие силы действуют одновременно на несколь ко тел, может оказаться необходимым рассмотреть равновесие систе мы этих тел или последовательно равновесие каждого тела в от дельности.
2. И з о б р а ж е н и е д е й с т в у ю щ и х с и л . Установив, равновесие какого тела или тел рассматривается (и только после этого), следует на чертеже изобразить все действующие на это тело (или тела) внешние силы, включая как заданные, так и искомые си лы, в том числе реакции всех связей. При изображении реакций
учесть все сказанное о них в § 3. |
|
|
||
3. С о с т а в л е н и е |
у с л о в и й р а в н о в е с и я . Усло |
|||
вия равновесия составляют для сил, действующих на |
тело (или |
|||
тела), равновесие |
которых |
рассматривается-. Об особенностях со |
||
ставления условий |
равновесия для |
различных систем |
сил будет |
|
сказано в соответствующих |
местах |
курса. |
|
|
4. О п р е д е л е н и е и с к о м ы х в е л и ч и н , п р о в е р к а п р а в и л ь н о с т и р е ш е н и я и и с с л е д о в а н и е п о л у ч е н н ы х р е з у л ь т а т о в . Важное значение в про цессе решения имеет аккуратный чертеж (он помогает быстрее найти правильный путь решения и избежать ошибок при составлении ус ловий равновесия) и последовательное проведение всех выкладок.
Все расчеты при решении задач рекомендуется, как правило, производить в общем виде (алгебраически). Тогда для искомых ве личин будут получаться формулы, дающие возможность проанали зировать найденные результаты. Кроме того, решение в общем виде позволяет иногда обнаружить сделанные ошибки путем проверки