Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

В рассматриваемом случае Oj=0 fa — скорость груза в момент остановки). Кроме того, А (Р)=0 и A (N)—0, так как силы Р и N перпендикулярны перемеще­ нию, A (F)= —Fsi, поскольку /■= const. В итоге получаем —ffwJ/2=— откуда находим

Si — mv*/2F.

По результатам задачи 96 время торможения растет пропорционально началь­ ной скорости, а тормозной путь, как мы нашли,— пропорционально квадрату на­ чальной скорости. Применительно к наземному транспорту это показывает, как возрастает опасность с увеличением скорости движения.

Задача 100. Груз весом Р подвешен на нити длиной /. Нить вместе с грузом отклоняют от вертикали на угол ф0 (рис. 236, а) и отпускают_без начальной ско­

рости. При движении на груз действует сила сопротивления R, которую прибли­

женно заменяем ее средним значением R * (R *= const). Найти скорость груза в тот момент времени, когда нить образует с вертикалью угол <р.

Р е ш е н и е . Учитывая условия задачи, воспользуемся опять теоремой (52):

mv*/2— m vi/2= 1АШаМ). (а)

На'груз действуют сила тяжести Р, реакция нити N и’сила сопротивления, представленная ее средним значением R*. Для силы Р по формуле (47) А (P)=Ph, для силн N, так как Nx=0, получим A {N)=0, наконец, для силы R *, так как R * = const и Rx= —R *. по формуле (45) будет A (R .*)=—/? *s=—R

(длина $ дуги МЛМ равна произведению радиуса I на центральный угол ф0—<р). Кроме того, по условиям задачи и0= 0 , a m=P!g. В результате равенство (а) дает:

Pv*ftg=Ph — R*l(<pt —<р) и v= V 2gh —2gl (ф0—ф) R*/P-

При отсутствии сопротивления получаем отсюда известную формулу Галилея

о= справедливую, очевидно, и для скорости свободно падающего груза (рас. 236, б).

В рассматриваемой задаче A=/cos<p—/cos<p0. Тогда, введя еще обозначение R * 1 Р = к * (к * — средняя сила сопротивления, приходящаяся на единицу веса груза), получаем окончательно

V — У 2 й /[ С 0 3 ф — СОЗфо — * * (ф 0 — ф )Ь

Задача 101. Пружина клапана имеет в недеформированном состоянии длину *,—6 см. При полностью открытом клапане ее длина /= 4 см, а высота подъема клапана 4= 0,6 см (рис. 237). Жесткость пружины с= 150 Н/м, масса клапана т =

«=0,4 кг. Пренебрегая действием силы тяжести и сил сопротивления, определить скорость клапана в момент его закрытия.

Р е ш е н и е . Воспользуемся уравнением

216

По условиям задачи работу совершает только сила упругости пружины. Тог­ да по формуле (48) будет .

А(М,М,)—С(Ч— Ч)/2-

гт

Задача 102. Груз, лежащий на середине упругой балки (рис. 238), прогибает ее на величину Л*т (статистический прогиб балки). Пренебрегая весом балки, опре­ делить, чему будет равен ее. максимальный прогиб Хп , если груз упадет на балку с высоты М

Р е ш е н и е . Как и в предыдущей задаче, воспользуемся для решения урав­ нением (52). В данном случае начальная скорость груза v0и конечная его скорость i)j (в момент максимального прогиба балки) равны нулю и уравнение (52) прини­ мает вид

= —0,5cX4i, так как для балки Х„=0, Хх=А,я . Подставляя эти величины в ра­ венство (а), получим

Р(Н + Х а)-0 ,5 с \гт= 0 -

Но при равновесии груза на балке сила тяжести уравновешивается силой упру­ гости, следовательно, Р—сХСТ и предыдущее равенство можно представить в виде

—2ХСТХЯ—2ХСТН = 0.

Решая это квадратное уравнение и учитывая, что по условиям задачи долж­ но быть Х „> 0 , находим

Xm = XCI+ K * £ + 277^.

Интересно отметить, что при Н= 0 получается Хт =2Хст. Следовательно, если груз положить на середину горизонтальной балки, то ее максимальный прогиб при опускании груза будет равен удвоенному статическому. В дальнейшем груз начнет вместе с балкой совершать колебания около равновесного положения. Под влиянием сопротивлений эти колебания затухнут и система уравновесится в положении, при котором прогиб балки равен А.ст.-

Задача 103. Определить, какую наименьшую направленную вертикально вверх начальную скорость и0 надо сообщить телу, чтобы оно поднялось с поверх­ ности Земли на заданную высоту Н (рис. 239). Силу притяжения считать изменяю­ щейся обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли. Сопротив­ лением воздуха пренебречь.

Р е ш е н и е . Рассматривая тело как материальную точку с массой т, вос­ пользуемся уравнением

Работу здесь совершает сила тяготения F. Тогда по формуле (50), учитывая, что в данном случае r0= R, r ^ R + H , где R — радиус Земли, получим

A iM ^ ^m g R ^lK R + fn-H R ].

Так как в наивысшей точке и1= 0 , то при найденном значении работы уравне­ ние (а) дает

Следовательно, тело, брошенное с поверхности Земли со скоростью 11,2 км/с, навсегда покинет поле земного тяготения. Скорость, определяемая равенством (б), называется второй космической скоростью.

Можно доказать (см. гл. XX), что при начальных скоростях, лежащих при­ близительно в пределах 8 км/с<и0< 1 1 км/с, тело, брошенное по направлению ка­ сательной к земной поверхности, не упадет обратно на Землю, а превратится в земного спутника. При начальных скоростях, меньших 8 км/с, или при негоризонтальном •бросании тело, описай эллиптическую тра­ екторию, упадет обратно 'на Землю. Все эти результаты относятся к движению в безвоз­

душном пространстве.

Задача 104. Определить, пренебрегая тре­

нием, какую постоянную силу Q надо при­

ложить к поршню 1 (площадь поршня S, начальная скорость t>0= 0), чтобы сжать газ, находящийся в цилиндре 2, до давления ри если начальное давление равно р0 (рис. 240). Считать, что при сжатии давление, газа р растет обратно пропорционально его объему V (сжатие происходит медленно, процесс изо­ термический).

Направим ось Ох в сторону движения поршня, считая, что при х=0 давление P=PQ. Обозначим через /0 начальное расстояние поршня от дна цилиндра, а через *1 — перемещение поршня до положения, при котором 1 ^ = 0 и давление р—рх- Тан

218

как численно P=pS и Рх= —Р——pS, то по формуле (44')

о

Зависимость р от х найдем из условия, что давление обратно пропорциональ­ но объему, т. е. plp0=V0lV, где начальный объем V0= Sl0, а объем в произвольном положении V=S(l0—x). Тогда для р, а также для координаты х1г при которой р= =Pii получим выражения:

Учтя эти зависимости, найдем из равенства (б)

о

Далее, так как Q=const, получим с учетом соотношений (в)

»(Q) = Q * i= Q /o (i- g )= Q 'o ^ rf a .

При найденных значениях работ равенство (а) дает окончательно

Q = PoPl • S In —.

Pi Ро PQ

Если Рх>Ро» то, полагая приближенно рх—p<s**pi, получим

Q=PoS!n (pi/po)-

Сила Q с увеличением рх растет по логарифмическому закону, т. е. довольно медленно. Например, при pl=20p0 Q«3p05, а при рх=50ро Q»3,9p0S,

Глава XVIII

НЕСВОБОДНОЕ И ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

f 90. НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

Движение материальной точки будет несвободным, когда в силу наложенных связей она вынуждена двигаться по заданной поверх­ ности или кривой. Ограничимся рассмотрением второго случая.

Д в и ж е н и е т о ч к и п о з а д а н н о й н е п о д в и ж н о й

Fl, Fi, . . F% и реакции связи N (рис. 241). Выберем на кривой начало отсчета О' и будем определять положение точки М криво­ линейной координатойs= О'М (см. § 37). Проведем из точки М оси МхпЬ (см. § 42), т. е. касательную Мх (в сторону положительного отсчета координаты s), главную нормаль Мп (в сторону вогнутости кривой) и бинормаль Mb и воспользуемся уравнениями (11) из § 77.

Так как кривая гладкая, то реакция N перпендикулярна кривой,

219