Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

т. е. если момент действующей сит относительно некоторого цент­ ра равен нулю, то момент количества движения точки относительно этого центра есть величина постоянная. Такой результат имеет место в практически важном случае движения под действием цент­ ральной силы (см. § 86).

Задача 67. Шарик М привязан к нити MBA, часть ВА которой продета сквозь вертикальную трубку (рис. 225). В момент, когда шарик находится на расстоянии

Л0 от оси г трубки, ему сообщают начальную скоростьU„, перепендикулярную плос­ кости MBA. Одновременно нить начинают медленно втягивать в трубку. Найти, какую скорость vt будет иметь шарик, когда его расстояние от оси г станет равно *!• _ _

Р е ш е и и е. На шарик действуют сила тяжести Р и реакция нити Т. Моменты этих сил относительно оси г равны нулю, так как сила Я параллельна оси г, а сила Т эту ось пересекает. Тогда по уравнению (38)

-gj-[m,(m»jj = 0,

откуда mz (mv)=mvh=const. Так как масса m постоянна, то отсюда следует, что при движении шарика vlfyt=v1h1.

Следовательно,

Vi=h0v0/hi.

По мере приближения шарика к оси его скорость растет.

§ 86*. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ. ЗАКОН ПЛОЩАДЕЙ

Центральной называется сила, линия действия которой прохо­ дит все время через данный центр О. Примером такой силы является сила притяжения планеты к Солнцу или спутника к Земле.

Рассмотрим, пользуясь уравнением (37), как будет двигаться точка М (рис. 226)_под действием^центральной силы F. Так как в данном случае mo (F)=0,_to m0(mv) —гXmu=const юш, поскольку масса т постоянна, m0 (v)=rX v—const, т. е. вектор m0{v) постоя­ нен и по модулю, и по направлению. Напомним, «го вектор m 0(v)=^

306

*=Fxv направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы 7 и V. Следовательно, если вектор г Х у имеет все время по­ стоянное направление, то радиус-вектор г —ОМ точки М и вектор

ее скорости v должны все время лежать в одной и той же плоскости. Отсюда заключаем, что траектория точки М будет плоской кривой.

Величина do/d/ определяет скорость, с которой растет площадь, ометаемая радиусом-вектором ОМ при движении точки М , и назы­ вается секторной скоростью точки. В рассматриваемом случае эта скорость постоянна:

= (rm>) | = const. (39)

Таким образом, при движении под действием центральной силы точка движется по плоской кривой с постоянной секторной ско­ ростью, т. е. так, что радиус-вектор точки в любые равные проме­ жутки времени ометает равные пло­ щади (закон площадей). Этот закон имеет место при движении планет или спутников и выражает собой один из

законов Кеплера.

гелий) скорость планеты vn будет наибольшей, а в наиболее удаленной от Солнца точке А (афелий) скорость »д будет наименьшей. Этот результат следует из урав­ нения (39), которое для точек А и /7 дает i/д *AC=vn -ПС. К такому же выводу мож­ но прийти, если, учесть, что площади пунктирно заштрихованных на рис. 227 сек­ торов, ометаемых за одинаковые промежутки времени, должны быть равны; следовательно, за одно и то же время планета вблизи точки 77 должна пройти

больший путь, чем вблизи А.

Аналогичный результат имеет место при движении спутника.

207

Для характеристики действия, оказываемого силой на тело гфи некотором его перемещении, вводится понятие о работе силы, широ­ ко используемое не только в механике. Сначала введем понятие об элементарной работе.

где Fx — проекция силы F на касательную Мх к траектории точки М , направленную в сторону перемещения этой точки (или про­

екция F на направление скорости v точки Af); ds — модуль элемен­ тарного перемещения точки М .

Такое определение соответствует представлению о работе как о мере того действия силы, которое приводит к изменению модуля

скорости точки. Если разложить силу F на составляющие Fx и F„, то изменять модуль скорости будет Fx, так как Fx==max=m'dv/dt

(составляющая Fn изменяет или направление вектора V, или при несвободном движении — силу давления на связь).

Замечая, что Fx—F cos а , где а — угол между F и Мх, полу­ чим из (40) другое выражение для <L4:

Если угол a =90°, т. е. еслисила направлена перпендикулярно пе­ ремещению, то элементарная работа силы равна нулю.

Знак работы имеет следующий смысл: работа положительна, когда составляющая Fx направлена в сторону движения (сила ускоряет движение); работа отрицательна, когда составляющая

FT направлена противоположно направлению движения (сила замедляет движение).

Если учесть, 4Tods=|dr|, где dг — вектор элементарного переме­ щения точки, и воспользоваться известным из векторной алгебры понятием о скалярном произведении двух векторов, то равенство (41) можно представить в виде **

ренциала. Дифференциалом какой-нибудь функции величина dA вообще может не быть (см. § 126). _

** Скалярным произведением двух векторов а и"5 называется скалярная вели­ чина, определяемая равенством в* b=ab cos а, где а — угол .между векторами "а и Ь. Выражение скалярного произведения через проекции векторов а и~Ьна коорди­ натные осиимеет вид в - b=oxbx-)-al/bl/-\-at bl .

208

Следовательно, элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на вектор элементарного перемещения танки ее приложения.

Если в формуле (42) выразить скалярное произведение через проекции векторов F и г на координатные оси и учесть, что гх —х,

гу—у, гг=г, то получим аналитическое выражение элементарной работы

в котором х, у, г — координаты точки приложения силы F.

Рис. 229

Работа силы на любом конечном перемещении AloMi (рис. 228) вычисляется как предел интегральной суммы соответствующих

элементарных работ

(М.)

Следовательно, работа силы на любом перемещении МоМх равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы. Пределы интеграла соответствуют значениям переменных интегрирования в точках М 0 и М х (точнее говоря, интеграл берется вдоль кривой M tM i, т. е. является криволинейным).

Если величина F-, постоянна (FT=const), то из (44), обозначая перемещение M„Mi через sx, получим

В частности, такой случай может иметь место, когда действую­

щая сила постоянна по модулю и направлению (F=const), .а точка, к которой приложена сила, движется прямолинейно (рис. 229). В этом случае Fx=Fcos а = const и

Единицей измерения работы является в СИ — 1 джоуль (1 Д ж = =1Н •м = 1 кг*м2/сг), а в системе МКГСС— 1 кГ -м.

Г р а ф и ч е с к и й с п о с о б в ы ч и с л е н и я р а б о т ы . Если сила зависит, от расстояния « и известен график зависимости F%от $ (рис. 230), то ра­

боту силы можно вычислить графически. Пусть в положении Л10 точка находится от начала отсчета на расстоянии %, а 6 положении М{ — на расстоянии Si. Тогда по формуле (44), учитывая геометрический смысл

интеграла, получим

М,)= J ft<ls = 0 ,

*•

где о — величина заштрихованной на рис. 230 пло­ щади, умноженной на масштабный коэффициент.

М о щ н о сть . Мощностью называется величина, определяющая работу, совершае­ мую силой в единицу времени. Если работа

совершается равномерно, то мощность N*=Altit где h — йремя, в

= 1Дж/с), а в системе МКГСС— 1 кГ.-м/с. В технике за единицу мощности часто принимается 1 л. с., равная 736 Вт (или 75 кГ «м/с).

Работу, произведенную машиной, можно измерять произведением ее мощности на время работы. Отсюда во'зникла употребительная в технике единица измерения работы киловатт-час (1 кВт >4=3,6 х х10* Дж«367100 кГ-м).

Из равенства N = F xv видно, что у двигателя, имеющего данную мощность N, сила тяги Fx будет тем больше, чем меньше скорость v. Поэтому, например, на подъеме или на плохом участке дороги у ав­ томобиля включают низшие передачи, позволяющие при полной мощности двигаться с меньшей скоростью и развивать ббльшую силу тяги.

| 88. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ РАБОТЫ

Рассмотренные ниже примеры дают результаты, которыми можно непосредственно пользоваться при решении задач.

чтобы ось Ог была направлена вертикально вверх (рис. 231). Тогда Р х—О, P v= 0, Р г= —Р. Подставляя эти значения в формулу (44'), получим, учитывая, что переменным интегрирования является гз

Z|

S (—Р) dz^P {zt—гх).

*•

210