Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

4. При составлении уравнений относительного движения в слу чаях, когда FZор#0, надо иметь в виду, что

F;0p = — тав0р = — 2 т (шх й0Т).

Следовательно, сила FK0V перпендикулярна v„= v, а значит, и каса тельной к относительной траектории точки. Поэтому:

а) проекция кориолисовой силы инерции на касательную Мх к относительной траектории точки всегда равна нулю (fJoPT=0), и первое из уравнений (11) в относительном движении будет иметь вид

m - ^ = IF*T + / * pt;

(58)

б) работа кориолисовой силы инерции на любом относительном перемещении равна нулю [см. § 87, формула (44)}, и теорема об из менении кинетической энергии точки в относительном двиясении

будет иметь ' ввд и и, — значения относительных скоростей, А — работа на относительном перемещении)

ffwJ/2— mui/2*='2l Ak+ A (F bp).

(59)

Последние слагаемые в правых частях равенств (58) и (59) учи тывают влияние движения подвижных осей на изменение величины и.

• Во все остальные уравнения относительного движения будут в общем случае входить и переносная, и кориолисова силы инерции.

Задача НО. Пренебрегая массой всех вращающихся частей центробежного ре гулятора (рис. 248) по сравнению с массой шаров В и О, найти угол а, определяиУ щий положение относительного равновесия стержня АВ, если регулятор вращает ся е постоянной угловой скорость*) ш, а длина АВ=1.

Р е ш е н и е . Для определения положения относительного равновесия (по отношению к вращающимся вместе с регулятором осям) прибавляем^согласно ра

венству (57), к'действующим на шар В силе тяжести Р и реакции N переносную

силу инерции 7^еР. Так. как	ш= const, то	sina, Тогда
/'nep=*m /it>, s l n a . Направлена	сила Яйер противоположно ускорению аЦер, т. е.

от оси вращения (вдоль линии СВ); эту силу Называют еще центробежной силой инерции. Составляя уравнение равновесия в проекции на ось Вт, перпендикуляр ную АВ, найдем, что

— Р sin a + f пер со» a = 0.

226

Отсюда, заменяя силу F*ep ее значением и сокращая на sin a (решение a = 0 не рассматриваем), получим —g+/ai2 cosa=0. Тогда

cos a =gll<3>2.

Так как cosa< l,T o равновесие при аФО возможно только, когда u?>gH. Задача 111. Полуокружность BCD радиуса R (рис. 249) вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью to. По ней из точки В, чуть сме щенной от оси вращения, начинает скользить без трения кольцо М. Найти дтно-

сительную скорость кольца в точке С, если его начальная скорость t;0= 0 .

Р е ш е н и е . Для определения скорости воспользуемся теоремой об изме нении кинетической энергии. Чтобы составить уравнение (59), выражающее эту

теорему, вычислим работу сил Р и fEep, где f)5ep=m<iAc (работа реакции N равна нулю). Считая приближенно дгд=0, находим

<С>	R
Авс (F«р) = J	^пер d= fflto1 J х dx = miaRt/2.
(В)	о

Кроме того, A tfC)(P)=PR=mgR. Подставляя эти значения в уравнение (59) и учитывая, что i e= 0 , получим

/r»J/2= mR (g-\-<o*R/2).

Отсюда находим

Vi = V2gR(l+a*Rl2g).

Задачу можно также решить, используя уравнение (58). Пример интегрирования уравнений относительного движения

дан в § 93.

§92. ВЛИЯНИЕ ВРАЩЕНИЯ ЗЕМЛИ НА РАВНОВЕСИЕ И ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ

При решении большинства технических задач систему отсчета, связанную с Землей, считают инерциальной (неподвижной). Тем самым не учитывается суточное вращение Земли по отношению к звездам (о влиянии движения Земли по ее орбите вокруг Солнца см. § 99). Это вращение (один оборот в сутки) проис ходит с угловой скоростью

со = 2я/(24 • 60 • 60) » 0,000073 с '1.


Рассмотрим, как сказывается		такое
довольно медленное вращение на равно
весии и движении тел вблизи земной
поверхности.
1.	С и л а т я ж е с т и. С суточным вра
щением Земли связано понятие о силе тя			Рис. 250
жести, являющейся частью силы тяго
тения (притяжения к Земле). На мате
риальную точку, находящуюся		вблизи

земной 'поверхности, действует сила тяготения FT, разлагающаяся на силы Fn и Р (рис. 250). Сила Fn, направленная к земной оси, сообщает точке то нормальное ускорение а„, которое точка должна

иметь, участвуя вместе с Землей в ее суточном вращении; если мас

са точки т, а ее расстояние от земной оси г, то	и численно
/тко*г.

Другая составляющая силы тяготения — сила Р и является ве личиной, называемой силой тяжести. Таким образом,

г- я - г . .

т.е. сила тяжести равна разности между всей силой тяготения и

той ее составляющей, которая обеспечивает участие точки (тела)

всуточном вращении Земли.

Направление силы 7> определяет направление вертикали в дан ном пункте земной поверхности (таким будет направление нити, на которой подвешен какой-нибудь груз; натяжение нити при этом рав но Р), а плоскость, перпендикулярная силе Т, является горизон тальной плоскостью. Так как Fn=mcoV, где со1 очень малб, то сила


Р и численно,		и по направлению мало отличается от силы тяготе
ния FT *. Модуль силы Р			называют весом тела.
2.	О т н о с и т е л ь н ы й ' п о к о й и о т н о с и т е л ь н о е
д в и ж е н и е		в б л и з и	з е м н о й п о в е р х н о с т и . Если

в числе действующих сил выделить силу тяготения FT, то уравнени ем относительного равновесия (покоя) точки на вращающейся Зем ле согласно (57) будет

+ Fт+ JSp = 0.

Но в данном случае Оперся» и ?5ер=—/пОи*р= —ma„——F*. Тогда

? т + /75ер==/гт—Fn-=P и уравнение примет вид 2 F k-f Р = 0 , т. е. та кой же, какой уравнение равновесия имеет, когда система отсчета, связанная с Землей, считается неподвижной.

Следовательно, при составлении уравнений равновесия тел по

отношению к Земле дополнительных поправок на вращение Земли вводить не надо (это вращение учитывается наличием в уравнениях силы F).

Теперь обратимся к уравнению относительного движения (56), в котором тоже выделим силу тяготения. Тогда полупим

та «■

Но, как и в предыдущем случае, Tx+Fllf=Tr—F„—Р и уравнение примет вид

та*=

Сила ¥ятеет . наибольшее «иаченяе-на экваторе, где г=Я , ■ составляет там около 0.345С от силытяготеян*. Наибольшая разность показанных на рве 250

углов а (геоцентрическая широта) я f (встрономпеская шярота) ямеет мкто вря а=45 к равна приблизительно 0,1°.

228

Отсюда следует, что когда, при составлении уравнений движения, оси, связанные с Землей, считают неподвижными, то пренебрегают учетом только кориолисовойсилы инерции, численно равной

Flop = 2т(ои sin а,

где а — угол между относительной скоростью v точки и земной осью.

Так как угловая скорость Земли со очень мала, то если скорость v не очень велика, величиной F"ор по сравнению с силой тяжести можно пренебречь. Например, при v—700 м/с (скорость обычного артиллерийского снаряда) и а=90° значение FJJop составляет только около 1 % от силы Р. Поэтому в большинстве инженерных расчетов при изучении движения тел систему отсчета, связанную с Землей, можно действительно считать инерциальной (неподвижной).

Учет вращения Земли приобре тает практическое значение или при очень больших скоростях (ско рости полета баллистических ра кет), или для движений, длящихся очень долго (течение рек, воздуш ные и морские течения).

3* . П р и м е р ы . Рассмотрим, в чем качественно сказывается вли яние вращения Земли на движе ние тел.

Движение по земной поверхно сти. При движении точки по ме

ридиану в северном полушарии с севера на юг кориолисово ускоре ние ац09 направлено на восток (см. § 67, задача 80), a F%p •*- на за

пад. При движении с юга на север F%0р будет направлена на восток. В обоих случаях, как видим, точка вследствие вращения Земли отклоняется вправо от направления ее движения. _

Если точка движется по параллели на восток, то ускорение а*ор будет направлено вдоль радиуса МС параллели (рис. 251), а сила

^кор — в противоположную сторону. Вертикальная составляющая этой силы, направленная вдоль ОМ, вызовет незначительное измене ние веса тела, а горизонтальная составляющая, направленная к югу, вызовет отклонение точки тоже вправо от направления ее дви жения. Аналогичный результат получится при движении по парал лели на запад.

Отсюда заключаем, что в северном полушарии тело, движущееся вдоль земной поверхности по любому направлению, будет вследствие вращения Земли отклоняться вправо от направления движения. В южном полушарии отклонение будет происходить влево.

Этим обстоятельством объясняется то, Что реки, текущие в се верном полушарии, подмывают правый берег (закон Бэра). В этом же причина отклонений ветров постоянного направления (пассаты)

229

и морских течений, а также воздушных масс в циклоне и антицикло не, где вместо движения к центру циклона (область пониженного давления) или от центра антициклона (область повышенного давле ния) возникает циркуляционное движение воздуха вокруг центра циклона (антициклона).

Вертикальное падение. Чтобы определить направление кориолисовой силы инерции F”op в случае свободно падающей точки, надо знать направление относительной скорости v точки. Так как сила FJJop очень мала по сравнению с силой тяжести, то в первом прибли жении можно считать вектор v, направленным по вертикали, т. е. вдоль линии МО (рис. 251). Тогда вектор акор будет, как легко ви деть, направлен на запад, а сила FJlop — на восток (т. е. так, как на

рис. 251 направлен вектор v). Следовательно, в первом приближении

свободнопадающая точка'(тело) отклоняется вследствие вращения Земли от вертикали к востоку. Тело, брошенное вертикально вверх, будет, очевидно, при подъеме отклоняться к западу. Величины этих отклонений очень малы и заметны только при достаточно, большой высоте падения или подъема, что видно из расчетов, приведенных в § 93.

| 03*. ОТКЛОНЕНИЕ ПАДАЮЩЕЙ ТОЧКИ ОТ ВЕРТИКАЛИ ВСЛЕДСТВИЕ ВРАЩЕНИЯ ЗЕМЛИ

Рассмотрим материальную точку, падающую с ие очень большой (по сравнению

с радиусом Земли) высоты Н- на поверхность Земли. Силу тяжести Р при падении будем считать постоянной; сопротивлением воздуха пренебрегаем. Направим ось Оу вертикально вверх, а ось Ох — на восток (рис. 252, в)*. Чтобы учесть вращение

Земли, к точке кроме силы Р надо приложить силу Fjj0p. направленную, как было установлено в первом приближе нии, на восток. Тогда дифферен циальные уравнения относитель ного движения точки примут вид:

тх=Ркop. my = — P = — mg,

		(60)
	а Начальные условия будут: при
	<=0 х = 0 , у=Н, их= 0 , ч„=0 .
	Интегрируя второе из урав
	нений (60) и определяя постоян
	ные интегрирования по началь
Рис. 252	ным условиям,	найдем:
Рис. 252	vv = y = — gt,	y = H —gt42.
	vv = y = — gt,	y = H —gt42.

При вычислении модуля fJJop пренебрежем, как мы уже делали, определяя

направление /'Лор, составляющей скорости vx по сравнению с vy (так как сила Fjjop много меньше Я) и,_отыскивая приближенное решение, будем считать v=\vy\=gt.

При этом скорость v будет направлена по вертикали вниз (по линии МО на рис.

251)и образует с осью вращения Земли угол <х=90°—X, где А — широта. Следова-

*Масштаб изображения в направлении оси Ох на рис. 252 сильно увеличен.

230

Источник: https://studfile.net/preview/16461005/

Смотрите также:

2029
2342
7.Методичка УГНТУ
BA
k_itogu_5_po_mikre
Kramer_S_-_Shumery_Pervaya_tsivilizatsia_na_Zemle-1
lab05
POMH-bio
Sb96067
T1