Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

М е с т н ы е с и с т е м ы о т с ч е т а . Рассмотрим тело А , движущееся в поле тяготения Земли (или другого небесного тела)

свободно и поступательно с ускорением g (ускорение поля тяготе­ ния), т. е. находящееся в состоянии

можно считать g=const. Наточку М , по­

скольку она, как и тело А, движется в поле тяготения Земли, будет действовать сила тяготения FT=mg, а также могут действовать дру­

гие силы Ft, F t, ..., Fn.

Составим уравнение относительного движения точки по отно­ шению к осям Охуг, т. е. уравнение (56) из § 91-. Так как оси Охуг

где У/7* — сумма других действующих сил, кроме F1.

Но так как оси Охуг перемещаются вместе с телом ^поступа­ тельно^с ускорением g, то для движущейся точки a„tV=g и /гйер= =—mg. Учтя еще, что FT—mg, получим из уравнения (127)

(128)

Таким образом, хотя система отсчета Охуг не является инерци­

альной (см. § 91), так как движется с ускорением g, уравнение дви­ жения точки по отношению к этой системе отсчета составляется так, как если бы она была инерциальной; но при этом в число_дейст-

вующих на точку сил не должна включаться сила тяготения F 1t т. е. сила притяжения к Земле (небесному телу), в поле тяготения ко­ торого движутся тело А и связанная с ним система отсчета. Такую систему назовем местной системой отсчета. Ее практически можно считать инерциальной с тем большей степенью точности, чем мень­ ше область, в которой происходит движение.

Например, если местную систему отсчета связать с движущимся поступательно вокруг Земли космическим летательным аппаратом, то уравнение движения по отношению к летательному аппарату лю­ бого находящегося в нем тела будет составляться в виде (128), т. е. как в инерциальной системе отсчета, но при этом в число действую­

261

Раздел четвертый

ДИНАМИКА СИСТЕМЫ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

Глава X X I

ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ СИСТЕМЫ. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ

§ 100. МЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА. СИЛЫ ВНЕШ НИЕ И ВНУТРЕННИЕ

Систему материальных точек или тел, движение (или равнове­ сие) которой рассматривается, будем называть механической систе­ мой. Если между точками (телами) механической системы действу­

е и i от латинских exterior — внешний и interior — внутренний). Внешними называют силы, действующие на точки системы со сторо­ ны точек или тел, не входящих в состав данной системы. Внутрен­ ними называют силы, с которыми точки или тела данной системы действуют друг на друга. Эго разделение является условным и за­ висит от того, какая механическая система рассматривается. На­ пример, если рассматривается движение всей Солнечной системы, то сила притяжения Земли к Солнцу будет внутренней; если же рас­ сматривается движение системы Земля — Луна, то для этой системы та же сила будет внешней.

Внутренние силы обладают следующими свойствами:

1. Геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равняется нулю. В самом деле, по третьему закону динами­ ки любые две точки системы (рис. 274) действуют друг на друга с равными по модулю и противоположно направленными силами

Fit и ^21>сумма которых равна нулю. Так как аналогичный резуль-

263

тат имеет место для любой пары точек системы, то

2 ^ = °-

2. Сумма моментов (главный момент) всех внутренних сил си­ стемы относительно любого центра или оси равняется нулю. Дей­ ствительно, если взять произвольный центр. О, то из рис. 274 видно,

что т а (Fii)+ m 0(F^,) =0. Аналогичный результат получится при вычислении моментов относительно оси. Следовательно, и для всей системы будет:

2 '"о (^ *) = 0 и =

Из доказанных свойств не следует, однако, что внутренние силн взаимно уравновешиваются и не влияют на движение системы, так как эти силы приложены к разным материальным точкам или телам и могут вызвать взаимные перемещения этих точек или тел. Урав­ новешенной вся совокупность внутренних сил будет у системы, пред­ ставляющей собой абсолютно твердое тело.

f 101. МАССА СИСТЕМЫ. ЦЕНТР МАСС

Движение системы кроме действующих сил зависит также от ее суммарной массы и распределения масс. Масса системы (обознача­ ем М или т ) равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему:

М = 2 т к.

Распределение масс в системе определяется значениями масс т к ее точек и их взаимными положениями, т. е. их координатами хк, ух, zh. Однако оказывается, что при решении тех задач динами­ ки, которые мы будем рассматривать, в частности динамики твердого тела, для учета .распределения масс достаточно знать не все ве­ личины т к, хк, ук, гк, а некоторые, выражаемые через них суммар­ ные характеристики. Ими являются: координаты центра масс (выражаются через суммы произведений масс точек системы на их координаты), осевые моменты инерции (выражаются Фрез суммы произведений масс точек системы на квадраты их координат) и центробежные моменты инерции (выражаются через суммы произ­ ведений масс точек системы и двух из их координат). Эти характери­ стики мы в данной главе и рассмотрим.

Ц е н т р , ма с с . В однородном поле тяжести, для которого g=const, вес любой частицы тела пропорционален ее массе. Поэто­ му о распределении масс в теле можно судить по положению его центра тяжести. Преобразуем формулы (59) из § 32, определяющие координаты центра тяжести тела, к виду, явно содержащему массу. Для этого положим в названных формулах pk=mkg и P=M g, после чего, сократив на g, найдем:

хс ~ ~дГ 2 т кхЬ' Ус — 2 гс — 2 0)’

264

В полученные равенства входят теперь массы т к материальных точек (частиц), образующих тело, и координаты хк, yh, zh этих то­ чек. Следовательно, положение точки С(хс,у с, гс) действительно характеризует распределение масс в теле или в любой механиче­ ской системе, если под тъ, xh, yh, zh понимать соответственно массы и координаты точек системы.

Геометрйчестя точка С, координаты 'которой определяются формулами (1), называется центром масс или центром инерции механической системы.

Если положение центра масс определять его радиусом-вектором гс, то из равенств (1) для гс получается формула

(П

где rh — радиусы-векторы точек, образующих систему.

Из полученных результатов следует, что для твердого тела, на­ ходящегося в однородном поле тяжести, положения центра масс и центра тяжести совпадают. Но в отличие от центра тяжести поня­ тие о центре масс сохраняет свой смысл для тела, находящегося в любом.силовом поле (Иапример, в центральном поле тяготения), и, кроме того, как характеристика распределения масс, имеет смысл не только для твердого тела, но и для любой механической системы.

$ 102. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ. РАДИУС ИНЕРЦИИ

Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси Ог (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квад­ раты их расстояний от этой оси:

Из определения следует, что момент инерции тела (или системы) относительно любой оси является величиной положительной и не равной нулю.

В дальнейшем будет показано, что осевой момент инерции играет при вращательном движении тела такую же роль, какую масса при поступательном, т. е. что осевой момент инерции является мерой инертности тела при вращательном двиясении.

Согласно формуле (2) момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его частей относительно той же оси. Для одной мате­ риальной точки, находящейся на расстоянии h от оси, /,= тЛ а. Единицей измерения момента инерции в СИ будет 1 кг *м* (в системе М КГСС— 1 кгм-с*).

Для вычисления осевых моментов инерции можно расстояния точек от осей выражать через координаты xh, yh, zh этих точек (на­ пример, квадрат расстояния от оси Ох будет yl+ zt и т. д.). Тогда моменты инерции относительно осей Охуг будут определяться фор­

265