Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

но, если J xy—0, /„2=0, то ось Оу будет для точки О главной осью инерции. Следовательно, если все центробежные моменты инерции равны нулю, т . е.

то каз&дая из координатных осей Охуг является главной осью инерции тела для точки О (начала координат).

Например, на рис. 279 все три оси Охуг являются для точки О главными осями инерции (ось Ог как ось симметрии, а оси Ох и Оу как перпендикулярные плоскостям симметрии).

Моменты инерции тела относительно главных осей инерции называются главными моментами инерции тела.

Главные оси инерции, построенные для центра масс тела, на­ зывают главными центральными осями инерции тела. Из доказан­ ного выше следует, что если тело имеет ось симметрии, то эта ось является одной из главных центральных осей инерции тела, так как центр масс лежит на этой оси. Если же тело имеет плоскость сим­ метрии, то ось, перпендикулярная этой плоскости и проходящая через центр масс тела, будет также одной из главных центральных осей инерции тела.

В приведенных примерах рассматривались симметричные Ttyia, чего для решения задач, с которыми мы будем сталкиваться, доста­ точно. Однако можно доказать, что через любую точку какого угод­ но тела можно провести, по крайней мере, три такие взаимно пер­ пендикулярные оси, для которых будут выполняться равенства (1Г), т. е. которые будут главными осями инерции тела для этой точки.

Понятие о главных осях инерции играет важную роль в динами­ ке твердого тела. Если по ним направить координатные оси Охуг, то все центробежные моменты инерции обращаются в нули и соот­ ветствующие уравнения или формулы существенно упрощаются (см. § 105, 132). С этим понятием связано также решение задач о динамическом уравнении вращающихся тел (см. § 136), о центре удара (см. § 157) и др.

§ 105*. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОСИ

Проведем ось 01, образующую с осями Охуг углы а, р и у соответственно (рис. 280). По определению, где, как видно из треугольника ОД*£)*, hk=r%— (OD),)1. Но 0£>*, как проекция вектора /■*=дс*«+У*/+г*А на ось 01, рав­ на сумме проекций составляющих этого вектора на ту же ось, причем (х*0 « = =x*cos а и т. д.; кроме того, г\=х\-\-у\-)-г\. Тогда

/, = Em* [4+ Ук+ Л — (х* cos а + у„ cos Р + гк cos 7)*] •

Если сначала учесть, что 1—cos1а= cos2 [5+cos27 и т. д.. » затем вынести квадраты и произведения косинусов, как рбщие множители, за скобки а принять во внимание формулы (3) и (10), то окончательно получим

271

Если же в качестве осей Охуг выбрать главные оси инерция тела для точки О то формула упрощается:

Формулы (12) или (12') лозволяют, зная входящие в их правые части моменты инерции относительно заданных осей Охуг, определить момент инерции относи­ тельно любой оси, проходящей через точку О*. Если же известно и положение центра масс тела, то, используя формулу (9), можно найти момент инерции относи­ тельно оси, проходящей через любую другую точку.

Задача 121. Найти момент инерции однородной прямоугольной пластины

смассой т и сторонами а и Ь относительно ее диагонали (рис. 281).

Ре ш е н и е . Проведем через центр С пластины оси Сху (ось Сг на рисунке не показана), которые, как оси симметрии, будут для точки С главными осями

инерции. Тогда по формуле (12'), учитывая, что у= 90°, получим J t = J x cos* а + J у cos* p.

По аналогии с результатом, полученным'в задаче 119, для пластины будет J x=mb2l 12, J у—таг!\2\ кроме того, cosa —ale, cos Р= 6/с, гдес^=АВ. В результате окончательно найдем

/{= me*6*/6c*= таЧ*/6 (а1+ 6*).

В заключение рассмотрим, в чем проявляется влияние введен­ ных характеристик распределения масс на частном примере враще­ ния вокруг оси Ог стержня с нани­ занными на него одинаковыми ша­

рами А и 5 (рис. 282).

Если hffchi, то центр масс си­ стемы не лежит на оси ,Ог и при вращении появятся давления на подшипники; если ht—hi, центр масс лежит на оси и этих давлений не будет.

Если при A,=Ai расстояния шаров от оси увеличить, то положе­ ние центра масс не изменится, но увеличится момент инерции J z

и при прочих равных условиях вращение будет происходить мед­ леннее.

Если стержень D E повернуть в плоскости Оуг так, чтобы /DCz не был прямым, а расстояния Aj и.А,=/ц сохранить, сместив шары

• Шесть величин J x, J y, J t , —J xv, —J уг, —J tx определяют так называемый тензор инерций и являются его компонентами.

272

к концамстержня, то ни положение центра масс, ни момент инерции J t не изменятся, но станет не равным нулю центробежный момент инерции J yz и ось Ог не будет главной; в результате при вращении возникнут дополнительные боковые давления на подшипники (ось будет «бить»).

Глава X X II

ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС СИСТЕМЫ

f 106. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

Рассмотрим систему, состоящую из п материальных точек. Вы­ делим какую-нибудь точку системы с массой т к. Обозначим равно­ действующую всех приложенных к точке внешних сил (и активных,

и реакций связей) через F*, а равнодействующую всех внутренних сил — через F ,,1. Если точка имеет при этом ускорение ah, то по

основному закону динамики mhak=F%+Ffc.

Аналогичный результат получим для любой точки. Следователь­

m jin = Fn + F nl -

Уравнения (13) представляют собой дифференциальные уравне­ ния движения системы в векторной форме (в них ak—vk—rk). Входя-

,щие в правые части уравнений силы могут в общем случае зависеть от времени, координат точек системы и их скоростей.

Проектируя равенства (13) на какие-нибудь координатные оси, получим дифференциальные уравнения движения системы в проек­ циях на эти оси.

Полное решение основной задачи динамики для системы будет состоять в том, чтобы, зная заданные силы и наложенные связи, проинтегрировать соответствующие дифференциальные уравнения

иопределить в результате закон движения каждой из точек системы

иреакции связей. Сделать это аналитически удается лишь в отдель­

ных случаях, когда число точек системы невелико, или же интегри­ руя уравнения численно с помощью ЭВМ.

Однако при решении многих конкретных задач необходимость находить закон движения каждой из точек системы не возникает, а бывает достаточно найти какие-то характеристики, определяющие движение всей системы в целом. Например, чтобы установить, как движется под действием приложенных сил кривошипно-ползунный механизм (см. рис. 158 в § 57), достаточно определить закон враще­

273

!8-1870

ния кривошипа, т. е. найти зависимость угла его поворота <р от времени t. Обычно для отыскания подобных решений уравнения (13) непосредственно не применяют, а применяют другие, разрабо­ танные в динамике методы. К' их числу относятся метода, которые дают широко используемые в инженерной практике общиетеоремы динамики системы, получаемые как следствия уравнений (13); эти теоремы и будут рассмотрены в данной и в трех последующих главах.

Но предварительно решим одну задачу, показывающую, что искомый результат можно иногда эффективно находить и непосред­ ственно, используя дифференциальные уравнения движения си­ стемы.

Задача 122. Д и н а м и ч е с к и й г а с и т е л ь к о л е б а н и й . Укреп­ ленный на пружине груз / совершает вынужденные колебания под действием воз­

мущающей силы проекция которой Ox=Qt sin pt

(см. §96).

Определить, при каких условиях можно погасить

j х по вертикали вверх. Тогда силы тяжести уравновесят­

сти будут пропорциональны удлинениям, которые полу­ чают пружины при смещениях грузов от положений ста­ тического равновесия. Эти удлинения будут соответ­

груз 1 — силы F i= —F t, F i (Fix=^-Ci\i) и (?. В ре­ зультате получим следующие дифференциальные уравнения движения грузов:

« i* i = — ciJfi+ c, f a — *0 + Q* sin pt, m,Jc, = — c, (*,— Xj). Чтобы колебания груза 1 гасились, должно быть jcx= 0. Тогда

C**» + Q# pt= 0 и m^xt = — CfX].

Из первого уравнения j*«=— (Q«/c*) sin pt и x,=p, (Q0/c^ sin pt. В результате под­ становка во второе уравнение после сокращений дает

т , р * = с ,.

Эго и будет искомым условием гашения, в котором одной из величин т , или с%можно задаваться произвольно. Конечно, желательно, чтобы масса т , была мень­ ше, но при малой т , и заданном р будет мало и с., а это приведет к нежелательному увеличению амплитуды Qjct колебаний груза 2.

1 107. TEOPEJtlA О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС

В ряде случаев для определения характера движения системы (особенно твердого тела) требуется знать закон движения ее центра масс. Чтобы найти этот закон, обратимся к уравнениям движения системы (13) и сложим почленно их левые и правые части. Тогда получим

274

Преобразуем левую часть равенства. Из формулы (Г ) для радиусавектора центра масс имеем

2 т *г* = Мгс.

Беря от обеих частей этого равенства вторую производную по вре­ мени и замечая, что производная от суммы равна сумме производ­ ных, найдем,

где ас — ускорение центра масс системы. Так как по свойству внут­

ренних сил системы 2 Flk= 0, получим окончательно из равенства (14), учтя (15),

т р а м а с с с и с т е м ы : произведение массы системы на ускоре­ ние ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. Сравнивая уравнение (16) с уравнением движения материальной точки [§ 74, формула (2)], придем к дру­ гому выражению теоремы: центр масс системы двиясется как ма­ териальная точка, масса которой равна массевсей системы и к кото­ рой прилоясены все внешние силы, действующие на систему.

Проектируя обе части равенства (16) на координатные оси, по­

Эти уравнения представляют собой дифференциальныеуравнения двиясения центра масс в проекциях на осидекартовой системы коор­ динат.

Значение доказанной теоремы состоит в следующем.

1. Теорема дает обоснование методам динамики точки. Из урав­ нений (16') видно, что решения, которые мы получаем, рассматривая данное тело как материальную точку, определяют закон движения центра масс этого тела, т. е. имеют вполне конкретный смысл.

В частности, если тело движется поступательно, то его движение водностью определяется движением центра масс. Таким, образом,

поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе тела. В остальных слу­ чаях тело можно рассматривать как материальную точку лишь тогда, когда практически для определения положения тела доста­ точно знать положение его центра масс и допустимо по условиям решаемой задачи не принимать во внимание вращательную часть движения тела.