Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

где г—ОМ — расстояние точки от центра Земли; R=OM« — зна­ чение г для точки вылета М 0', g — ускорение силы земного тяготе­ ния в точке Af0*.

Так как сила F — центральная (см. § 86), то траектория точки будет плоской кривой. Поэтому для изучения движения можно вос­ пользоваться полярными координатами г=ОМ и ф, поместив их начало (полюс)

О в центре Земли и направляя поляр­ ную ось Ох вдоль линии ОМ0. Составим дифференциальные уравнения движения точки М .

По закону площадей (см. § 86) при движении под действием центральной си­

лы момент вектора скорости v относи­ тельно центра О (или удвоенная сектор­ ная скорость точки) будет величиной по­

стоянной. Следовательно, m0(v)=c. Но из чертежа видно, что если разложить

вектор v на радиальную vr и попереч­ ную 1>фсоставляющие (см. § 47), то

т 0(v) = т 0(йф) = rvф, где v4 = г •d<p/d/. Отсюда получаем первое уравнение

(103)

Значение постоянной с найдем из условий в точке, вылета Af0, где, как легко видеть, mo(v0)= Rv<1co&a. Следовательно,

c=/?u0cosa. (104)

Второе уравнение получим из теоремы об изменении кинетиче­ ской энергии в дифференциальной форме [см. § 89, формула (51)1

* В формуле (102) R может иметь любое значение, большее земного радиуса. Когда точка /Й0 берется на поверхности Земли, будем обычно считать R равным радиусу земного экватора /?„=6378 км и g=9,82 м/с” (g всюду — ускорение силы земного тяготения, а не силы тяжести, см. § 92). Но, конечно, все получаемые да­ лее формулы справедливы для движения в поле тяготения любого другого небес­ ного тела.

2SI

где (см. § 47)

Интегрируя дифференциальные уравнения (103) и (105), можно определить г и <ркак функции времени t, т. е. найти закон движе­ ния точки. Вместо этого найдем сразу ее траекторию. Чтобы упро­ стить расчет, введем новое переменное и, полагая

Тогда с учетом равенств (107) и (103) получим

Подставляя эти значения в формулу (106), находим

и9= с* [U* + (du/dcp)*].

Найденное выражение t/9подставим в левую часть уравнения (105).

Получим

0 l “ l?- + _5pd9*-J= * ;? !?•

Заменяя здесь с его значением из (104) и сокращая на du/d<p, найдем окончательно дифференциальное уравнение траектории:

гв

Решение этого уравнения слагается из общего решения уравне­ ния без правой части, которое совпадает с решением уравнения (67) при 1 и частного решения уравнения с правой частью. Следова­ тельно, «=ы1+ и|, где «1 имеет вид (68) или (69) при k—\, а и»=1/р, в чем можно убедиться непосредственной подстановкой. В резуль­ тате решением уравнения (108) будет

M = c,sin(<p + ct) + j или м= у [ 1+ схр sin(<р+с,)],

где Ci и с , —г постоянные интегрирования. Полагая здесь сгр——е, с,=я/2—р, где е и р — новые постоянные, и переходя от и к г, най­ дем окончательно уравнение траектории в виде

Из аналитической геометрии известно, что (110) представляет собой уравнение конического сечения (эллипса, параболы или ги-

2S2

Скорость 0 ,= К 2gR называется параболической или второй кос­ мической скоростью. Если считать R = R 0=6378км И g=gt=9,82м/са, то получим и,«11,2 км/с. Таким образом, при начальной скорости v0^ ll,2 км/с тело, брошенное с поверхности Земли под любым уг­ лом а к горизонтальной плоскости, будет двигаться по параболе или гиперболе (при а =90° — по прямой), неограниченно удаляясь от Земли. Достижение скоростей такого порядка необходимо для меж­ планетных сообщений *. При скорости, меньшей второй космиче­ ской, тело или упадет обратно на Землю, или станет искусственным спутником Земли.

Закон движения точки вдоль .траектории, т. е. ее положение на траектории в любой момент времени, можно найти, заменяя в ра­ венстве (103) г его значением из (110), а затем, интегрируя полуден­ ное уравнение.

§ 98. ИСКУССТВЕННЫЕ СПУТНИКИ ЗЕМЛИ. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ

При о0-<К2gR и афп/2 траектория тела, брошенного с земной поверхности, есть эллипс, у которого ось РА , образующая с Ох угол Р, является осью симметрии (см. рис. 269). Если начальные условия в пункте М 0 будут таковы, что угол то траектория пересечет поверхность Земли в симметричной относительно оси РА точке M i, т. е. тело упадет на Землю. Следовательно, брошен­ ное тело может стать спутником Земли лишь при тех начальных ус­ ловиях, которые дают р=я. Но, как показывают равенства (111), Р= я только при а=0 (или а= я) и xfi^gR, так как при р=я и vl<.gR первое из равенств (111) дает е<0, что невозможно, посколь­ ку е — величина положительная. Следовательно, чтобы тело, бро­ шенное с земной поверхности, превратилось в спутника Земли,

Эксцентрисистет орбиты спутника при а=0 й Р= я, как видно

Скорость Vy—V g R , при.которой е=0 и спутник движется по круговой орбите радиуса R , называется круговой или первой кос­ мической скоростью [см. § 82, формула (28)]. При бросании с поверх­ ности Земли, если считать R= 'R0= 6378 км и g=g0=9,82 м/са, пер­ вая космическая скорость их«7,9 км/с. При Уо>Ух орбитой спутни­ ка будет эллипс, эксцентриситет которого тем больше, чем больше v0 (рис. 270).

* Скорость, необходимая для освобождения межпланетного корабля от со местных притяжений Земли иСолнца,,будет больше У 2g0R 0 и при определенном

направлении и0 равна около 16,7 км/с; эту скорость называют третьей космиче­ ской скоростью,

254

Когда угол бросания афО, то ни при какой начальной скорости v0тело, бросаемое с земной поверхности (если даже не учитывать сопротивление воздуха), спутником Земли стать не может. Поэтому, например, создать искусственный спутник Земли выстрелом из Орудия практически невозможно; для этой цели пригодна управляе­

раблей с человеком на борту. Отметим в заключение, что с

увеличением высоты Н' пункта М „ над поверхностью Земли сопротивление воздуха будет убывать и

спутник будет долговечнее. Одновременно станет, очевидно, воз­ можным получение спутникового движения и при а#0. Однако нетрудно подсчитать, что при увеличении Я (хотяУц например, при этом уменьшается) полная энергия, затрачиваемая на запуск спут­ ника данной массы, возрастает. _____

Э л л и п т и ч е с к и е траектории. При а>0 и vB< V%g<>Rt, тело, брошенное с земной поверхности, описав дугу эллипса, упа­ дет обратно на Землю. Такие эллиптические траектории описывают баллистические ракеты, в частности мёжконтинентальные. Найдем основные характеристики этих траекторий.

Так как ось РА является осью симметрии траектории, то точкой

падения будет M i и дальность S будет равна длине дуги М 0М Х(см. рис. 269); следовательно,

где Р определяется формулой (112). При этом, как обычно принято, в равенстве (116) R„ — средний радиус Земли.

d/= (г5/с) d<p= (r4R0v0cosa) d<p.

Заменяя здесь г его значением, получаемым из равенств (109) и (110), и интегрируя, найдем, что

255