Из доказанного вытекают следующие свойства пары сил:
1)пару, не изменяя оказываемого ею на твердое тело действия, можно переносить куда угодно в плоскости действия пары;
2)у данной пары, не изменяя оказываемого ею на твердое тело
действия, можно произвольно менять модули сил или длину плеча, сохраняя неизменным ее момент.
Можно доказать, что пара сил обладает еще одним достаточно очевидным свойством (доказательство опускаем):
3) пару, не изменяя оказываемого ею на твердое тело действия, молено перенести из данной плоскости в любую другую плоскость, параллельную данной.
Отсюда следует, что две пары сил, имеющие одинаковые моменты, эквивалентны друг другу (теорема об эквивалентности пар). Эго сле дует из того, что указанными операциями, т. е. путем изменения
|
|
плеча |
и |
перемещения |
|||
|
|
пары |
в плоскости |
|
дей |
||
|
|
ствия |
или |
|
переноса в |
||
|
|
параллельную |
плос |
||||
|
|
кость, |
пары |
с одинако |
|||
|
|
выми. моментами |
могут |
||||
|
|
быть преобразованы |
од |
||||
|
|
на в другую. |
|
|
|||
|
|
Теперь |
докажем |
те |
|||
|
|
орему о сложении |
|
пар: |
|||
|
Рис. 35 |
система пар, |
действую |
||||
|
|
щих на абсолютно твер |
|||||
дое тело, эквивалентна одной паре с моментом, равным |
геометри |
||||||
ческой сумме моментов слагаемых пар. |
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим сначала две пары с моментами тi и ms, лежащие в |
|||||||
плоскостях / и I I (рис. 35). Возьмем на линии пересечения |
плос |
||||||
костей отрезок A B = d и изобразим пару |
с моментом |
тг силами |
|||||
F1 , F'u а |
пару с моментом т 2 — силами F t, F't, (при этом, конечно, |
||||||
F1d = m i, |
F 2d —m t). |
|
|
|
|
|
|
Сложив силы,приложенные в точках А и В, убеждаемся, |
что |
||||||
пары Fu |
F[ и F^ F't действительно эквивалентны одной паре R, |
/?'; |
|||||
найдем момент М этой пары. Так как /? = /rx+ F l, то A B X R = A B X
x F i + A B x F t или согласно формуле (15') М = т х-\-тг.
Для двух пар теорема доказана; при этом очевидно, что доказа тельство сохранится и в случае, когда плоскости I к I I сливаются (слагаемые пары лежат в одной плоскости).
Если на тело действует система п пар с моментами mj, тг, . . .
. . . , тп, |
то последовательно применяя |
результат, полученный для |
|
двух пар, |
найдем, что данная система |
пар будет |
действительно |
эквивалентна одной паре с моментом |
|
|
|
|
Af = m1 + mJ + . . . + m |
n= 2 ^ - |
(16) |
Из полученного результата легко найти условие равновесия системы пар, действующих на твердое тело: при равновесии должно
36
быть М = 0 или |
|
|
|
|
|
2 т * = 0 . |
(17) |
||
Задача |
11. Н етвердое тело дейст |
|||
вуют две пары, сил |
Fl t ~F[ и F t , |
ле |
||
жащие во взаимно |
перпендикулярных |
|||
плоскостях |
(рис. 36). |
Модуль |
мо |
|
мента каждой из пар |
равен 30 |
Н-м. |
||
Найти результирующую пару. |
|
|||
Ре ш е н и е . Изобразим векторы
%и mt моментов слагаемых пар, приложив их в некоторой точке А; тогда момент результирующей пары
изобразится вектором т. Следователь |
|
|
но, результирующая пара располо |
А |
|
жена в плоскости ABCD, перпенди- |
Рис. 36 |
|
хулярной вектору т, а модуль ее мо |
||
|
||
мента равен 3 0 ) / 2 Н -м. |
|
Глава IV
ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ К ЦЕНТРУ. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ
$ 11. ТЕОРЕМА О ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ СИЛЫ
Равнодействующая системы сходящихся сил непосредственно находится с помощью закона параллелограмма сил. Очевидно, что аналогичную задачу можно будет решить и для произвольной систе мы сил, если найти для них метод, позволяющий перенести все силы в одну точку. Такой метод дает следующая теорема: силу, прило женную к абсолютно твердому телу, можно, не изменяя оказываемого
|
ею |
действия, |
переносить |
||
|
из данной точки в любую |
||||
4. |
другую точку тела, при- |
||||
F |
бавляя при этом |
пару с |
|||
|
моментом, равным |
момен |
|||
|
ту |
переносимой силы |
от |
||
Рис. 37 |
носительно |
точки, |
куда |
||
|
сила переносится. |
|
|
||
Пусть на твердое тело действует сила F, приложенная в точке А (рис. 37, а). Действие этой силы не изменяется, если в любой точке
В тела приложить две уравновешенные силы F' |
и |
F", |
такие, что |
F'=F1_F"=—F. Полученная система трех сил и представляет собой |
|||
силу F', равную F, но приложенную в точке |
В, |
и |
пару F, F" |
с моментом |
|
|
|
тш*тв (F). |
|
|
(18) |
37
Последнее равенство следует из формулы (15')- Таким образом, теорема доказана. Результат, даваемый теоремой, можно еще изо
бразить так, как это показано на рис. 37, б (силу F на этом рисунке надо считать отброшенной). Рассмотрим примеры, иллюстрирующие теорему.
Пример 1. Чтобы удержать в равновесии однородный брус А В длиной 2а и весом Р , надо приложить в его середине С направленную вверх силу Q, по модулю равную Р (рис. 38, а). Согласно доказанной теореме силу Q можно заменить силой Q приложенной к концу А бруса, и парой с моментом, модуль которого m — Qa,
Если плечо этой пары уменьшить до величины h (рис. 38, б), то образующие ее силы F, F ', надо увеличить так, чтобы было Fh=Qa. Следовательно, чтобы удер
ж ать брус за его конец А , надо кроме силы Q' приложить еще пару F, F '. Этот результат, вытекающий из доказанной теоремы, непосредственно «ощущает» рука человека, удерживающая брус за его середину (рис. 38, о) или за конец (рис. 38, б).
Пример 2. На барабан / радиуса г намотаны в противоположных направле ниях две нити, к концам которых прикладывают силы F и F'= — F (рис. 39); на барабан_2 того же радиуса намотана одна нить, к которой прикладывают силу, равную 2F. Рассмотрим, чем будут отличаться действия этих сил.
На барабан / действует только пара сил F, F' с моментом, численно равным 2Fr, вращающая барабан. Силу, действующую на барабан 2, можно заменить
силой 2F '— 2F, приложенной к оси барабана, и парой 2F, 2F". В результате на ходим, что на этот барабан действуют: 1) пара с численно таким же, как и в пер
вом случае, моментом 2Fr, вращающая барабан, и 2) сила 2F ', оказывающая дав ление на ось барабана.
Итак, оба барабана будут вращаться одинаково. Но при этом ось второго ба рабана испытывает давление, равное 2F, а ось первого барабана никакого дав ления не испытывает..
$ 12. ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ К ДАННОМУ ЦЕНТРУ
Решим теперь задачу о приведении произвольной системы сил к данному центру, т. е. о замене данной системы сил другой, ей экви валентной, но значительно более простой, а именно состоящей, как мы увидим, только из одной силы и пары.
_ Пусть_на твердое тело действует произвольная система сил Fit Ft, . . Fn (рис. 40, а). Выберем какую-нибудь точку О за центр
38
приведения и, пользуясь теоремой, доказанной в § 11, перенесем все силы в центр О, присоединяя при этом соответствующие пары (см. рис. 37, б). Тогда на тело будет действовать система сил
= К |
= ........... |
Ъ = К |
(19) |
приложенных в центре О, и система пар, моменты которых согласно формуле (18) равны:
л?! = Ш о ^ ), mt = m0(Ft).......... |
m„ = m0 (Fn). |
(20) |
Сходящиеся силы, приложенные в точке О, заменяются одной силой R , приложенной в точке О. При этом У? = 2 / * или, согласно равенствам (19),
Я = 2 ? * - |
(21) |
Чтобы сложить все полученные пары, надо сложить векторы моментов этих пар. В результате система пар заменится одной па
рой, момент которой iM0 = 2 m h или, согласно равенствам (20),
М 0 = Ъ т 0 {Тк). |
(22) |
Как известно, величина R, равная геометрической сумме всех |
|
сил, называется главным вектором системы сил\ |
величина М 0, |
равная геометрической сумме моментов всех сил относительно цент ра О, называется главным моментом системы сил относительно этого центра.
Таким образом, мы доказали следующую т е о р е м у о п р и в е д е н и и с и с т е м ы с и л : любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно выбран ному центру О заменяется одной силой R , равной главному вектору системы сил иприложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом М 0, равным главному моменту системы сил относи тельно центра О (рис. 40, б).
Заметим, что сила R не является здесь равнодействующей дан ной системы сил, так как заменяет систему сил не одна, а вместе с парой.
Из доказанной теоремы следует, что две системы сил, имеющие одинаковые главные векторы и главные моменты относительно одного и того оке центра, эквивалентны (условия эквивалентности систем сил). _
Отметим еще, что значение R от выбора центра О, очевидно, не
зависит. Значение же М 0 при изменении положения центра О может в общем случае изменяться вследствие изменения значений момен тов отдельных сил. Поэтому всегда необходимо указывать, относи тельно какого центра определяется главный момент.
. Рассмотрим в заключение два частных случая: 1) если для дан ной системы сил /?= 0 , а М 0Ф 0, то она приводится к одной паре сил
с моментом М 0 . В этом случае значение М 0 не зависит от выбора центра О, так как иначе получилось бы, что одна и та же система сил заменяется разными, не эквивалентными друг другу парами, что
невозможно; 2) если для данной системы сил /?=£0, а Мо=0, то^эна приводится к одной силе, т. е. к равнодействующей, равной R и приложенной в центре О.
§ 13. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ СИЛ. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ
Покажем, что для равновесия любой системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный момент относительно любого центра были равны нулю, т. е. чтобы выполнялись условия
Я = 0, М о = 0, |
(23) |
где О — любой центр, так как в конце § 12 показано, что при R = О значение М 0 от выбора центра О не зависит*.
Условия (23) являются необходимыми, так как если какое-ни будь из них не выполняется, то система действующих на тело сил
приводится или к равнодействующей (когда /? ^ 0 ), или к паре сил
(когда М 0Ф 0) и, следовательно, не является уравновешенной. Од новременно условия (23) являются и достаточными, потому что при
R —0 система сил может приводиться только к паре с моментом М 0,
а так |
как М о =0, то имеет место равновесие. |
Пользуясь полученным результатом, докажем следующую т е о |
|
р е м у |
Вариньона * о м о м е н т е р а в н о д е й с т в у ю - |
щ е й: если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра О равен сумме моментов сил системы относительно того оке центра.
* П. Вариньон (1654— 1722) — выдающийся французский ученый, матема тик и механик. Изложил основы статики в книге «Проект новой механики» (1687).
40