Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

шяпника А устанавливается следующими рассуждениями: если убрать подшип­

ник, то кран под действием силы Р начнет падать вправо; следовательно, сила Я д, чтобы удержать кран в равновесии, должна быть направлена влево.

Задача 10. Стоящий на земле вертикальный столб ОА удерживается растяж ­ ками А В и A D , образующими со столбом равные углы а ; угол между плоскостя­ ми ЛОВ и AOD равен ф (рис. 30). К столбу подвешены два горизонтальных про­ вода; один, параллельный оси Оу, натянут с силой P lt а другой, параллельный оси Ох, — с силой P t . Найти силу вертикального давления на столб и усилия в тросах, пренебрегая их весами.

Р е ш е н и е . Рассмотрим равновесие узла Л , к которому прикреплены про­ вода итросы. Н а него действуют силы натяжения проводов Р [ и ~РХ, реакции растя­

и вычисляем предварительно проекции всех сил на эти оси, внося их в таблицу:

—si n a sin ф = 0 ,

—Яд-1-/?, »1п о + Я » sin а сое ф = 0 , R i— R t cos а —Я , сое а = 0 .

Решая эти уравнения, найдем:

Из полученных результатов видно, что при Р , ctg <p>Pt или tg ф < Р ,/Р ,

ролучается Д , < 0 н реакция R , должна иметь направление, противополож)гое показанному на рисунке, что невозможно, так как трос не может работать на сжа­ тие. Следовательно, растяжку AD надо располагать так, чтобы угод ф удовлетво­ рял неравенству tg <р>Я»//>1.

Глава III

МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА. ПАРА СИЛ

f 8. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА (ИЛИ ТОЧКИ)

Введем важное понятие о моменте силы относительно точки. Точку, относительно которой берется момент, называют центром момента, а момент силы относительно этой точки — моментом от­ носительно центра. Если под действием приложенной силы тело

SI

может совершать вращение вокруг некоторой точки, то момент силы относительно этой точки будет характеризовать вращательный эф­ фект силы.

Рассмотрим силу F, приложенную к телу в точке А (рис. 31). Из некоторого центра О опустим перпендикуляр на линию действия

О. Момент силы относительно центра Оопреде­ ляется: 1) модулем момента, равным произве­ дению Fh\ 2) положением в пространстве плоскости ОАВ («плоскости поворота»), про­

ходящей через центр О и силу F; 3) направ­ лением поворота в этой плоскости.

Из геометрии известно, что положение плос­ кости в пространстве определяется направле­ нием нормали (перпендикуляра) к этой плос­

кости. Таким образом, момент силы относительно центра характери­ зуется не только его числовым значением, но и направлением в про­ странстве, т. е. является величиной векторной.

Введем следующее определение: моментом силы F относительно

центра О называется прилолсенный в центре О вектор m0 (F), мо­ дуль которого равен произведению модуля F силы на ее плечо h и ко­ торый направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и силу, в ту сторону, откуда сила видна стремящейся повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки (рис.

Последний результат следует из того, что пл. АОАВ=АВ -Л/2= *=Fhl2. Измеряется момент силы в ньютон-метрах (Н -м).

стрелки,.т. е. так же, как вектор m0 (F). Следовательно, векторы ОА X F и т0 (F) совпадают и по модулю, и по направлению, и, как

по модулю площади параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, и направ­ ленный перпендикулярно плоскости этих векторов в ту сторону, откуда кратчайшее

совмещение а с Ь видно происходящим против хода часовой стрелки. Модуль о определяется еще равенством c= ab sin а , где а — угол между векторами а и Ь, Если векторы а и Ь параллельны, то аХ~В= 0.

32

легко видеть, по размерности, т. е. выражают одну и ту же величи­ ну. Отсюда

где г=ОА — радиус-вектор точки А , проведенный из центра О.

Таким образом, момент силы F относительно центра О равен

векторному произведению радиуса-вектора г=О А, проведенного из центра О в точку А , где приложена сила, на саму силу. Этот резуль­ тат может служить другим определением понятия о моменте силы относительно центра.

Отметим следующие свойства момента силы: 1) момент силы от­ носительно центра не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия; 2) момент силы относительно центра О равен нулю или когда сила равна нулю, или когда линия действия

раллельных и направленных в противоположные стороны сил, дей­ ствующих на абсолютно твердое тело (рис. 32, а). Система сил F, 7 ', образующих пару, очевидно, не находится в равновесии (эти силы не направлены вдоль одной прямой). В то же время пара сил не имеет равнодействующей, поскольку, как будет доказано, рав­ нодействующая любой системы сил равна_ее главному вектору /?,

т. е. сумме этих сил, а для пары R = T + F ' = 0. Поэтому свойства пары сил, как особой меры механического взаимодействия тел,

должны быть рассмотрены отдельно.

Плоскость, проходящая через линии действия сил пары, назы ­ вается плоскостью действия пары. Расстояние d между линиями действия сил пары называется плечом пары. Действие пары сил на твердое тело сводится к некоторому вращательному эффекту, кото­ рый характеризуется величиной, называемой моментом пары. Этот момент определяется: 1) его модулем, равным произведению Fd\ 2) положением в пространстве плоскости действия пары; 3) направ­ лением поворота пары в этой плоскости. Таким образом, как и момент силы относительно центра, это величина векторная.

Введем следующее определение: моментом пары сил называется вектор т (илр М), модуль которого равен произведению модуля одной из сил пары на ее плечо и который направлен перпендикулярно плос­ кости действия пары в ту сторону, откуда пара видна стремящейся повернуть тело против хода часовой стрелки (рис. 32, б).

Заметим еще, что так как плечо силы F относительно точки А равно d, а плоскость, проходящая через точку А и силу F, совпадает

* Теорию пар разработал известный французский учены й^ - механик и гео­ метр Л . Пуансо (1777— 1859).

с плоскостью действия пары, то однов£еменно т =тл (F) = А B x F .

Но в отличие от момента силы вектор т, как будет показано ниже, может быть приложен в любой точке (такой вектор называется сво­ бодным). Измеряется момент пары, как и момент силы, в ньютонметрах.

Покажем, что моменту пары можно дать другое выражение:

момент пары равен сумме моментов относительно любого центра О сил, образующих пару, т. е.

Для доказательства проведем из произвольной точки О (рис. 33) радиусы-векторы rA—~OA и гв —ОВ. Тогда согласно формуле (14),

у«п'я_еще1 что F ' ——F, получим m0(F)—rBx F , т0 (F') = rAX F' =

=—rA x F и, следовательно,

т0 (F) + т0 (?') = (гв — 7л) x F = 7iBxF .

Так как Х В x F —m, то справедливость равенства (15) доказана. Отсюда, в частности, следует уже отмеченный выше результат:

т. е. что момент пары равен моменту одной из ее сил относительно точки приложения другой силы. Отметим еще, что модуль момента пары

m=Fd. (15*)

Если принять, что действие пары сил на твердое тело (ее вра­ щательный эффект) полностью определяется значением суммы мо­ ментов сил пары относительно любого центра О, то из формулы (15) следует, что две пары сил, имеющие одинаковые моменты, экви­ валентны, т. е. оказывают на тело одинаковое механическое дейст­ вие. Иначе это означает, что две пары сил, независимо от того, где каждая из них расположена в данной плоскости (или в параллель­ ных плоскостях) и чему равны в отдельности модули их сил и их

плечи, если их моменты имеют одно и то же значение т, будут экви­

валентны. Так как выбор центра О произволен, то вектор т можно считать приложенным в любой точке, т. е. это вектор свободный.

34