Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

Пусть система сил Flt F t .......... Fn приводится к равнодействую­

Тем самым теорема доказана. Ею часто бывает удобно пользо­ ваться при вычислении моментов сил.

Глава V

ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ

§ 14. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ СИЛЫ И ПАРЫ

Переходя к рассмотрению плоской системы сил (системы сил, как угодно расположенных в одной плоскости), начнем с введения

в той же плоскости, перпендикулярны этой плоскости, т. е. направ­ лены вдоль одной и той же прямой. Тогда, не прибегая к векторной символике, можно направления этих моментов отличить одно от

другого знаком и рассматривать момент силы F относительно центра О как алгебраическую величину. Условимся для краткости такой момент называть алгебраическим и обозначать символом m0 (F). Алгебраический момент силы F относительно центра О равен взя­ тому с соответствующим знаком произведению модуля силы на ее

41

гело вокруг центра О против хода часовой стрелки, и отрицатель­ ным— когда по ходу часовой стрелки. Так, для сил, изображенных

на рис. 42: m0 (P)*=Phlt m0 {Q)=— Qht.

Заметим, что полученные выше формулы (22) и (24), содержащие суммы моментов-векторов, сохранят свой вид и для алгебраических моментов, но суммы при этом будут не векторные, а алгебраические.

Т~, найдем плечо А = а sin а ; тогда с учетом знака m ^(F )= F a sin о .

Д ля силы. проще не находить плечо, а разложить Q*на составляю щ ие'^ и

5», для которых плечи будут соответственно равны А В = а и AD=b, а затем воспользоваться_формулой (24), т. е. теоремой Вариньона. Тогда с учетом знаков:

»«i4(5 j= /n ^(Q i)-i-m > (5 j ) = —Q ie+ Q ,* . Но QX= Q cos p. Qa= Q sin p и оконча­ тельно

т д (<2) = (? (b s ln P — a cos P).

Выражение в скобках и является плечом силы Q, что не сразу видно.

Заметим, что т д (?) можно тоже найти, разложив силу Т ~на составляющие Т1 и Тогда m jt(F )= m ji(F i)= {F sin а)о , так как т д ( / г,)= 0 .

2. А л г е б р а и ч е с к и й м о м е н т п а р ы . Поскольку момент пары сил равен моменту одной из ее сил относительно точки приложения другой силы {формула (15')], то для пар, лежащих в

одной плоскости, момент пары мож­ но тоже рассматривать как алгеб­ раическую величину, называть алгебраическим и условиться обоз­ начать символом m (или М). При этом алгебраический момент пары равен взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на плечо пары:

Правило знаков здесь такое же, как для момента силы. Так, для изображенной на рис. 44, а пары F, F' момент mi=Fdlt а для пары Р, Р' момент т ш——Pdt . Поскольку пара сил характеризуется только ее моментом, то на рисунках пару изображают часто просто

42

дуговой стрелкой, показывающей направление поворота пары (как на рис. 44, б).

Полученные выше формулы (16) и (17), содержащие суммы мо­ ментов-векторов, тоже сохранят вид для алгебраических моментов, цричем суммы будут алгебраическими.

Задача 12. Криволинейный рычаг A BC D (рис. 45) находится в равновесия

под действием двух параллельных сил Я и Я ', образующих пару. Определить силы давления на опоры, если А В — а = 15 см, В С = Ь — 30 см, C D = c= 20 см, Р = Р '= = 3 0 0 Н.

Рис. 45 Рис. 46

Р е ш е н и е . Заменим пару Я, Я' эквивалентной ей парой Q, Q ', силы кото­ рой направлены по направлениям реакций опор. При этом моменты пар должны

(рис. 46, а). Определить момент т , пары, которую надо приложить к шестерне 2 радиуса г ,, чтобы сохранить равновесие.

Р е ш е н и е . Рассмотрим сначала условия равновесия шестерни / . Н а нее действует пара с моментом т х, которая может быть уравновешена только действием

другой пары, в данном случае пары (Jj, ~Rl . Здесь — перпендикулярная радиусу

составляющая силы давления на зуб со стороны шестерни 2, a R i— тоже пер­ пендикулярная радиусу составляющая реакции оси А (сила давления на зуб и реакция оси А имеют еще составляющие вдоль радиуса, которые взаимно урав­ новешиваются и в условие равновесия не войдут). Принтом, согласно условию рав­

равенства действия и противодействия на нее со стороны шестерни / будет дей­

должна уравновеситься приложенной к шестерне 2 парой с моментом т , ; следова­ тельно, по условию равновесия (17), т , + (—Qa/’1) = 0 . Отсюда, так как Q ,= Q i, находим mt = m 1ri/r1.

Естественно, что пары с моментами m j и т , не удовлетворяют условию равно­

43

§15. ПРИВЕДЕНИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

КПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ

Результат, полученный в§ 12, справедлив, конечно, и в частном случае плоской системы сил. Следовательно, плоская система сил тоже приводится к силе, равной R и приложенной в произвольно выбранном центре О, и паре с моментом М 0, но сила и пара лежат в данном случае в одной плоскости — в плоскости действия сил (рис. 47, а, где пара изображена дуговой стрелкой). Значения глав­ ного вектора R и главного момента М 0 даются формулами (21) и (22); при этом вектор R можно определить или геометрически по­

строением силового много-

£угольника (§ 4), или анали­ тически по формулам (10) из §5. Таким образом, для плос­ кой системы сил

Найдем, к какому простейшему виду может приводиться данная плоская система сил, не находящаяся в равновесии. Результат зави­

сит от значений R и М 0-

1. Если для данной системы сил /? = 0, а М о¥=0, то она приво­ дится к одной паре с моментом М 0 . Как показано в конце § 12, значение М 0 в этом случае не зависит от выбора центра О.

2. Если для данной системы сил R=£0, то она приводится к одной силе, т. е. к равнодействующей. При этом возможны два случая:

а) R=£0, М о —0. В этом случае система, что сразу видно, приво­ дится jc равнодействующей R, проходящей через центр О;

б) R~£0, МоФО. В э'гом случае пару с моментом М 0 можно изо­

бразить двумя силами/?' и R беря R ' = R , a R ”= —R (рис. 47, б). При этом, если d —OC•— плечо пары, то должно Ьыть

Отбросив теперь силы R и R", как уравновешенные, найдем,

что вся система сил заменяется равнодействующей R ' ==R, проходя­ щей через точку С. Положение точки С определяется двумя условия­

ми: 1) расстояние OC=d (OC±.R) должно удовлетворять равенству (28); 2) знак момента относительно центра О силы R', приложенной в точке С, т. е. знак m0 (R'), должен совпадать со знаком М 0.

Пример подобного расчета дан в задаче 17.

44

Таким образом, плоская система сил, не находящаяся в равнове­ сии, может быть окончательно приведена или к одной силе, т. е. к

приложенной в центре приведения О силе R с проекциями Я ж= —40 Н ,Я у = —30 Н (R = 5 0 Н) и паре сил с моментом M Q — И .З Н-м.

Задача 15. Привести к простейшему виду Систему сил Plt ~Pt , Р ., действую­ щих на балку А В (рис. 49), и найти силы давления на опоры А и а , если Рх=

мер, точки С) равна — Ра. Следовательно, данная система сил приводится к паре с моментом т = —Ра. Располагая эту пару так, как показано на чертеже пункти­

ром, заключаем, что силы Plt Р г, Pt оказывают на опоры давления ОТ и Q^, чис­ ленно равные Palb,

45