Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

3) отношения амплитуд колебаний разных точек системы от начальных условий не зависят, так как определяются только зна­

чениями г'к(0), т. е. конфигурацией системы; 4) все точки системы в каждый момент времени, как видно из

равенств (137), находятся в одной и той же фазе ( k t + a ) и, следова­ тельно, одновременно проходят через положения равновесия и одновременно достигают максимальных отклонений от этого поло­ жения.

При решении задач наибольший интерес представляет опреде­ ление частоты k и периода т собственных колебаний системы, что существенно, например, для установления условий наличия или отсутствия резонанса (см. § 149). При этом достаточно определить из равенств. (132) и (133) коэффициенты а и с и воспользоваться формулами (136).

Задача 183. Определить частоту и период малых колебаний механической сис­ темы, рассмотренной в задаче 182 (см. § 147)!

Р е ш е н и е . В задаче 182 кинетическая энергия системы (стержня AD,

см. рис. 372) будет 7'=0,5Уд«ра. Следовательно, в этой задаче F (q)=F (у)—Jа = —const и

о = У ^ = т/*/3 . (а)

Далее, согласно формуле (133) и соотношениям (б) и (в), полученным в задаче

Задача 184. Механическая система состоит из весомых стержней /, 2 и диска 3, имеющих оси вращения в точках Ot, 0 JVО, соответственно и связанных друг с дру­ гом невесомыми стержнями АВ и DE (в точках A, B ,D , Е шарниры). В положении,

радиус диска. Кроме того, удлинение горизонтальной пружины X1= A ct+ A s>(= ==Xct4_/i9i. а удлинение вертикальной пружины Л,= А5д = M>j= ii<Pi• Тогда для потенциальной энергии системы, принимая во внимание формулы (64) и (64')

391

из § 127, получим значение

I*'= mig ^ cos <pi+ mtg A sta ф ,+ Ц- (X „ + 1 ^ )* + - y l[ ф!

или, полагая сое фх= 1—ф*/2 , sin ф2= ф 2 и учитывая, что /2ф1= ЛФ1•

(все постоянные величины включены в По). Отсюда находим

В положении равновесия, т. е. при Ф1= 0 , эта производная должна равняться нулю. Следовательно, должно быть /njg+2c1XCT= 0 или

Таким образом, в положении равновесия пружина сжата на эту величину. Далее получим

Тогда, согласно условиям (130), заключаем, что равновесие будет устойчивым,

если

Кроме того, из равенства (133) следует, что квазиупругий коэффициент

Для кинетической энергии системы получим значение

где mxiil3, т 2/|/3, mtr\l2 — моменты инерции тел 1 ,2 ,3 относительно их осей вра­ щения; ф1, <ps, ф, — угловые скорости этих тел. Но из найденных выше зависимо­

стей между ф! , фх и ф3, фх следует, что /гфа= / 1ф1 и /',ф,= / 1фх. Тогда, учтя еще ра­ венство (132), получим:

s 149. МАЛЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Как и в § 148, будем считать, что рассматриваемая механическая система при <7=0 находится в положении устойчивого равновесия. Исследуем ее малые колебания около положения равновесия еще в

когда она выведена из равновесного положения, кроме потенциаль­ ных сил начинают действовать еще силы вязкого сопротивления

392

(диссипативные силы) Fh= —цЛок= —щ (drh/dq)q*. Тогда обобщен­ ную диссипативную силу <?я можно найти по формуле (109) из § 143 и преобразовать окончательно [подобно тому, как это сделано в § 148 при получении равенства (132)] к виду

Теперь, составляя уравнение Лагранжа

и заменяя в нем Т, П и Qa их значениями (132), (133), (138), полу­ чим окончательно следующее дифференциальное уравнение зату­ хающих колебаний системы:

тельно, для малых колебаний системы с одной степенью свободы имеют место все результаты, полученные в § 95 для точки. Таким образом:

а) при к > Ь система совершает затухающие колебания с ча­

б) при k^Jb система совершает неколебательное движение. Закон движения системы дают во всех случаях уравнения,

полученные в § 95, если в них заменить х на q. Общие свойства

нической системы, рассмотренной в п. 1, действуют еще возмущаю­

В итоге в правой части уравнения Лагранжа (139) добавится еще сила Q, и из него окончательно получится следующее дифференци­ альное уравнейие вынужденных колебаний системы:

остальные обозначения указаны в равенствах (140'), Уравненйе (142) совпадает с уравнением (91) из § 96. Следова­

тельно, все результаты, полученные в § 96 для точки, имеют место

* На условия устойчивости равновесия (130) эти силы не влияют, так как при равновесии и*=0 , а следовательно, н f * = 0 .

393

и для малых колебаний системы с одной степенью свободы, а соот­ ветствующие уравнения будут определять закон движения системы, если в них заменить х на q. Эго относится и к результатам; полу­ ченным в § 96 для случая отсутствия сопротивления (Ь—0), и ко всем рассмотренным в § 96 свойствам вынужденных колебаний. В частности, резонанс при малом сопротивлении будет тоже иметь место, когда pa?k.

| ISO. МАЛЫЕ СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

Колебания Системы с несколькими степенями свободы, имеющие важные прак­ тические приложения, отличаются от колебаний системы с одной степенью свобо­ ды рядом существенных особенностей. Чтобы дать представление об этих особен­ ностях, рассмотрим случай свободных колебаний системы с двумя степенями сво­ боды.

Пусть положение системы определяется обобщенными координатами qit qt и при <h= ? 2= 0 система находится в устойчивом равновесии. Тогда кинетическую и потенциальную энергии системы, с точностью до квадратов малых величин мож­ но найти так же, как были найдены равенства (132), (133), и представить в виде:

си> cii — величины постоянные. Если воспользоваться двумя уравнениями Ла­ гранжа вида (131) и подставить в них эти значения Т и П, то получим сле­ дующие дифференциальные уравнения малых колебаний системы с двуя степе­

где А , В, к, а — постоянные величины. Подставив эти значения qlt qt в уравнения (148) ■ сократив на sin (M +a), получим

Ч тобы уравнения (147) давали для Аж В решения, отличные от нуля, опреде­ литель этой системы должен быть равен нулю или, иначе, коэффициенты при А я В в уравнениях должны быть пропорциональны, т. е.

Отсюда для определенна А*получаем следующее уравнение, называемое уравнением частот:

Корни hr\ и этого уравнения вещественны и положительны; это доказывает­ ся математически, но может быть обосновано и тем, то иначе кх= ЧЛ;] и к2 =

—TJ/C2 не будут вещественны и уравнения (145) не будут иметь решений вида

(146), чего для системы находящейся в устойчивом равновесии, быть не может (после возмущений она должна двигаться вблизи положения qx = q2 = 0).

394

Определив из (149) кj и к2, найдем две совокупности частных решений вида (146). Если учесть, что согласно (148) В =пА , эти решения будут:

где nx и n, — значения, которые n получает из (148) при k = k lt и k = k t соответ­ ственно.

Колебания, определяемые уравнениями (150) и П5П. называются главными ко­

лебаниями, а их частоты ^ и (г 2 - собственными частотами системы. При этом, колебание с частотой к{ (всегда меньшей) называют первым главным колебанием,

а с частотой kt — вторым главным колебанием. Числа пх и л,, определяющие от­ ношения амплитуд (или самих координат, т. е. qt/qt) в каждом из этих колебаний, называют коэффициентами формы.

Так как уравнения (145) являются линейными, то суммы частных решений (150) и (151) тоже будут решениями этих уравнений:

Равенства (152), содержащие четыре произвольных постоянных Af, А ш, си, сц, определяемых по начальным условиям, дают общее решение ураввеяжй (145) ■ определяют закон малых колебаний системы. Эти колебания слагаются из двух главных колебаний с частотами Лх и А, и не являются гармоначескиаш. В частных случаях, при соответствующих начальных условиях, система может совершать одно из главных колебаний (например, первое, если Л ,= 0) и колебание будет гармони­

ческим.

Собственные частоты kt и коэффициенты формы я*, я, яе зависят от началь­ ных условий и Являются основными характеристиками малых колебаний системы; решение конкретных вадач обычно сводятся к определению этих характеристик.

Сопоставляя результаты «того я предыдущего параграфов, можно получить представление о том, к чему сведется исследование затухающих и вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы. Мы этого рассматривать не будем. Отметим лишь, что при вынужденных колебаниях резонанс у такой системы может

Задача 185. Определить собст­ венные частоты и коэффициенты формы «алых колебаний двойного физического маятника, образован­ но-* стержнями 1 в 2 одинаковой массы т и длины I (рис. 374, а).

Р е ш е н и е . Выберем в каче­ стве обобщенных координат малые

углы <?>] и <р2. Тогда T =Q ,5(Jw <p\+mv2c ->rJ2c<P2)> где Jr10=m /2/3, Ji c =m ^ !\ 2 и, при требуемой точности подсчетов, vc = v A + vCA = l<f>i + 1ф2/2. В итоге

Далее П = —0,5mglcos <pl - mgl (cos <pl + 0,5 cos <р2) или, полагая cos<p = 1 —<р2/2,

395