Документ: Кратные и криволинейные интегралы, страницы 31-35

31

Производная скалярного поля по направлению l определяется как

g	\|M limt 0	g M tl g(M)	. Известно из теории функций многих переменных (выпуск V

l		t

учебника), что производная по направлению есть проекция градиента на данное направление

	g	\|M gradg	l	.
	l		\|l \|
Пример. Найти производную скалярного поля g(x, y, z) = x2 + y2 + z3 по направлению
{1,3,2} в точке (1,0,4)
	gradg 2x,2y,3z				2	,	g		1		3		2	98
								\|1,0,4 2,0,48		,		,			.
							l
									14		14		14	14
									14		14		14	14

Векторное поле.

Векторная линия - линия, в каждой точке которой вектор поля направлен по касательной к ней.

Уравнения векторной линии легко получить из условия коллинеарности векторов поля

a(M) P(x, y,z)i Q(x, y,z) j R(x, y,z)k
a(M) P(x, y,z)i Q(x, y,z) j R(x, y,z)k					и касательной dr dxi dy j dzk
	dx	dy	dz	.
				.

P(x, y,z) Q(x, y,z) R(x, y,z)

Пример. Написать уравнения векторных линий векторного поля a(M) yi x j

dx	dy	, xdx ydy,	xdx ydy 0,	d(x2 y2 ) 0,	x2 y2	C - линии уровня –

y	x

окружности (С>0).

Векторной трубкой называется поверхность, образованная векторными линиями.

Формула Остроградского – Гаусса.

Пусть компоненты векторного поля a(M) P(x, y,z)i Q(x, y,z) j R(x, y,z)k непрерывны и имеют непрерывные частные производные в пространственно односвязной замкнутой области V и на ее кусочно гладкой границе .

Тогда справедлива формула Остроградского – Гаусса

				P		Q		R
	P(x, y,z)dydz Q(x, y,z)dxdz R(x, y,z)dxdy								dv.

				x		y		z
			V
Заметим, что		левая часть формулы представляет			собой		поток векторного поля

a(M)через поверхность .

Доказательство. 1) Формула Остроградского – Гаусса, в силу произвольности P, Q, R состоит из трех частей, в каждую из которых входит одна из компонент векторного поля P, Q, R. В самом деле, можно взять P = 0, Q = 0 и доказывать отдельно часть формулы в которую входит только R. Остальные части формулы (при P = 0, R = 0, Q = 0, R = 0) доказываются аналогично. Будем доказывать часть формулы

R

R(x, y,z)dxdy z dv

V

2) Для доказательства выбранной части формулы представим пространственную область V в виде объединения конечного числа цилиндрических тел, не имеющих общих внутренних точек, с образующими, параллельными оси OZ. Доказательство можно

32

проводить для цилиндрического тела. В самом деле, тройной интеграл в правой части равен сумме тройных интегралов по цилиндрическим телам (свойство аддитивности). Поверхностный интеграл в левой части также равен сумме поверхностных интегралов по полным поверхностям цилиндрических тел, причем при суммировании интегралы по общим границам соседних цилиндрических тел будут сокращаться из-за противоположного направления внешних нормалей на общих границах.

	Итак, будем доказывать соотношение R(x, y,z)dxdy						R	dv для цилиндрического

						V	z
тела	V, проектирующегося		в область D на плоскости OXY.				Пусть «верхняя» граница
цилиндрического тела – поверхность 1				описывается уравнением					z z1(x, y), «нижняя»
граница – поверхность 2			описывается	уравнением	z z2 (x, y).				Боковую	поверхность
цилиндрического тела, параллельную оси OZ, обозначим 3 .
	Сразу заметим, что поток векторного поля через боковую поверхность равен нулю.
Действительно,		R(x, y,z)dxdy R x, y,z cos d 0,				так	как		нормаль	на боковой
		3	3
поверхности ортогональна оси OZ и cos 0.
	Заметим также, что на «верхней» поверхности 1				cos	0, а на «нижней поверхности
2	cos 0. Поэтому при		переходе от	поверхностного		интеграла по 2				к двойному
интегралу по области D и обратно надо менять знак, а при переходе от поверхностного
интеграла по 1		к двойному интегралу по области D и обратно менять знак не надо .

zn1

1

3

n3

y

2	n2
	n2
	D

R

z1(x, y)

R

R(x, y,z (x, y) dxdy-

dxdydz

dz dxdy

z

1

V

D z2 (x, y)

D

R(x, y,z2 (x, y) dxdy =

R(x, y,z)dxdy R(x, y,z)dxdy =

D

1

2

R(x, y,z)dxdy R(x, y,z)dxdy + R(x, y,z)dxdy =

1

2

3

R(x, y,z)dxdy

Таким образом,

соотношение

R(x, y,z)dxdy

R

dv

V

z

доказано.

x

Замечание. Формулу Остроградского – Гаусса можно записать в «полевом» виде

П (a) div a dv	- поток векторного поля через замкнутую поверхность равен
V

объемному интегралу от дивергенции поля по области, ограниченной поверхностью .

Дивергенция векторного поля (расходимость) есть P Q R .

x y z

Дивергенция – это характеристика векторного поля, инвариантная относительно системы координат. Покажем это.

33

Инвариантное определение дивергенции.

Рассмотрим произвольную точку M в пространственной области V. Выберем ее окрестность VM – шар радиуса r с центром в точке M. Обозначим M - ее границу – сферу радиуса r. По теореме о среднем для тройного интеграла

1

divadv diva(M)VM ,

M VM ,

diva

M

divadv

a

nd

(по

V

VM

M

VM

M M

формуле Остроградского – Гаусса).

Стягиваем окрестность к точке M, получаем дивергенцию векторного поля в точке M.

	a n d
diva(M) limVM M	M	. Это и есть инвариантное определение дивергенции.
diva(M) limVM M	VM	. Это и есть инвариантное определение дивергенции.
	VM

Поэтому дивергенция векторного поля в точке M имеет смысл объемной плотности потока векторного поля через окрестность этой точки и характеризует мощность источника (если diva(M) >0) или стока (если diva(M) <0) векторного поля в точке M.

Если diva(M) >0, то точка M – источник векторного поля, если diva(M) <0, то точка M

– сток векторного поля. Если в некоторой области дивергенция равна нулю, то в этой области нет ни источников, ни стоков, поток векторного поля через границу такой области равен нулю – «сколько поля втекает в область, столько и вытекает из нее».

Пример. Определить расположение источников и стоков	векторного поля
a x2 yi xzy j xz2 k . Выяснить, является ли точка M(1,2,3) источником или стоком.
diva 2xy xz 2xz 2xy xz . Все точки, для которых 2xy+xz >0	– источники, все

точки, для которых 2xy+xz <0 – стоки. На поверхности 2xy+xz = 0 нет ни источников, ни стоков. Точка M – источник, так как diva(M) 4 3 7 0.

Свойства дивергенции.

1) Линейность. div 1a1 2a2 1diva1 2diva2

div 1a1

2a2 div(( 1P1 2P2 )i

( 1Q1 2Q2 ) j

( 1R1 2R2 )k)

P

Q

R

P

Q

2

R

2

( 1P1

2 P2 )

( 1Q1 2Q2 )

1

2

x

( 1R1 2R2 ) 1

x

y

z

x

y

z

y

z

1diva1 2diva2 .

2)

divC 0, где C cxi cy j czk - постоянное векторное поле.

c

x

cy

c

z

divC

0

x

y

z

3)

div a diva a grad , где x, y,z - скалярное поле.

( P)

Q

R

div( a) div( Pi Qj Rk)

=

x

y

z

P

Q

R

P

Q

R

=

diva

a grad .

x

y

z

x

y

z

34

Соленоидальное поле и его свойства.

Векторное поле a M называется соленоидальным в области V, если в любой точке M

этой области diva(M) 0.

Свойства соленоидального поля.

1)Для того чтобы поле было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы поток через любую замкнутую поверхность равнялся нулю.

Необходимость следует из формулы Остроградского – Гаусса, достаточность – из инвариантного определения дивергенции.

2)Поток соленоидального поля через любую поверхность, окружающую изолированный источник или сток, один и тот же.

1в

P

1н

2в

2н

Рассмотрим две замкнутых поверхности 1 и 2 , окружающие изолированный источник (сток). Будем считать векторное поле соленоидальным в пространственной области между поверхностями. Рассечем поверхности плоскостью P и выберем на ней «верхнюю» сторону плоскости и «нижнюю» сторону, введем на плоскости вектор нормали от «нижней» стороны к «верхней». Плоскость разделяет поверхности на «верхние» и «нижние» части. Обозначим на них направления внешних нормалей к поверхностям.

Рассмотрим две пространственных области. Одна из них лежит выше плоскости и ограничена верхними частями поверхностей и верхней частью плоскости. Вторая ограничена нижними частями поверхностей и нижней частью плоскости.

В той и другой области поле соленоидально. Следовательно,

поток векторного поля через границы этих областей равен нулю.

Пв ПР П 2в П 1в 0,

Пн ПР П 2н П 1н 0.

Складывая эти выражения, получим П 1 П 1в П 1н П 2в П 2н П 2 .

3)Поток соленоидального поля через произвольное сечение векторной трубки один и тот же.

										35
n	a	Обозначим Sбок		–боковую поверхность векторной трубки. На
	S2	боковой поверхности направления нормали и векторного поля
	S2	ортогональны,			так		как	векторная		трубка образована
		векторными линиями, а вектор поля направлен по касательной
		к векторной линии. Поэтому поток векторного поля через
		боковую поверхность векторной трубки равен нулю (ПSбок.= 0).
S1		Учитывая направления нормалей и вектора поля на сечениях
S1		векторной	трубки			S1	и S2,	а также		соленодальность поля,
		получим
		ПS ПS	ПS		2	0,	ПS ПS		.
		1	бок		2		1		2

Следствие. Векторные линии соленоидального поля не могут начинаться и заканчиваться внутри поля.

В самом деле, иначе конечный поток приходился бы на нулевую площадь источника или стока, что требовало бы бесконечной мощности источника или стока.

Лекция 9 Формула Стокса.

Ротор векторного поля.

Назовем ротором векторного поля a(M) P(x, y,z)i Q(x, y,z) j R(x, y,z)k вектор

k

i

j

R

Q

P

R

Q

P

rot a

i

j

k

x

y

z

y

z

x

y

P

Q

R

Свойства ротора.

1)

Линейность rot( 1a1 2a2 ) 1rota1

2 rota2

k

i

j

i

j

rot( 1a1 2a2 )

=

+

x

y

z

x

y

z

1P1 2P2

1Q1 2Q2

1R1 2 R2

1P1

1Q1

1R1

i

j

k

= 1rota1

2 rota2 .

x

y

z

2 P2

Q2

2R2

2)

rotC 0,

C- постоянное векторное поле.

ij k

rotC						0
	x		y		z

	C1	C2		C3

Материал: Кратные и криволинейные интегралы

Смотрите также: