Материал: Кратные интегралы. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

 

2p

 

 

 

 

a(1-cost )

 

2p

 

 

 

 

 

I = ò a(t -sin t )a 1( -cost )dt

ò

 

dy = a3 ò (t -sint )(1-cost )2 dt =

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

2p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= a3

ò (t - 2t cost +t cos2 t -sin t +sin 2t -sin t cos2 t )dt =

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

æ t2

 

t

æ

 

1

 

ö

1 æ

2

 

1

ö

 

= a

 

ç

 

 

-2t sin t -2cost +

 

çt +

 

sin 2t ÷-

 

 

çt

 

-

 

cos 2t ÷

+

 

 

2

2

2

 

 

2

 

 

è

 

 

è

 

 

ø

4 è

 

 

ø

 

 

1

 

1

 

3

ö

 

2p

2

3

 

 

 

 

+cos t -

 

cos 2t +

 

cos

 

t ÷

 

= 3p

 

a .

2

3

 

 

 

 

 

 

ø

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3. Изменить порядок интегрирования в двойных

2

x+2

2

2- y

интегралах: а) ò dx ò f (x, y

dy) ; б) ò dy

ò f (x, y dx) ;

-1

x2

-6

y2

 

 

 

 

-1

 

 

 

4

 

 

 

 

Решение. а) По пределам интегрирования строим область интегрирования: у = х + 2, у = х2, х = 2, х = -1 (рис. 7). Решая совместно уравнения у = х + 2, у = х2, находим координаты точек пересечения прямой и параболы А (-1, 1), В (2,4).

Рис. 7

Поскольку слева область D ограничена линиями x = y - 2

и x = - y , а справа x =

y , то при изменении порядка интег-

рирования

интеграл

разбивается

на

два , интегра

11

соответственно, по областям DACOA и DABC

2

x+2

1

y

4

y

ò dx ò f (x, y dy) = òdy ò f (x, y dx) + òdy ò f (x, y dx) .

-1

x2

0

- y

1

y-2

б) Область интегрирования D ограничена линиями

 

 

y2

 

 

 

x = 2 - y, x =

 

-1, y = 2, y = -6

(рис. 8).

 

4

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 8

Решая совместно уравненияx = 2 - y и x =

y2

 

-1 , находим

4

 

 

координаты точек пересечения прямой и параболы А (0, 2) и В

(8, -

6). Сверху область D ограничена

линиями:

y = 2 x +1

при

-1 £ x £ 0 и y = 2 - x при 0 £ x £ 8 ,

а снизу –

параболой

y = -2 x +1 . Следовательно, при изменении порядка интегрирования интеграл разбивается на два

2 2- y 0 2 x+1 8 2-x

ò dy ò f (x, y dx) = òdx ò f (x, y dy) + òdx ò f (x, y dy) .

-6

y2

-1

-2 x+1

0

-2 x+1

 

 

-1

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Двойной интеграл в полярных координатах. Замена переменных в двойном интеграле

1°. При переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат к полярным необходимо в подынтегральном выра-

12

жении прямоугольные координаты заменить полярными по формулам: x = r cosj, y = r sinj ,, а дифференциал dS = dxdy заменить на rd rdj .

Причем уравнения линий, ограничивающих область интегрирования S0 следует преобразовать к полярным координатам по формулам перехода.

Если область интегрирования S ограничена лучами j = a

и j = b (a < b )

и кривыми r = r1 (j ), r = r2 (j ) (рис. 9), где

r1 (j ) и r2 (j )

- однозначные функции на отрезке j Î[a, b ]

и r1 (j ) £ r2 (j ) , то имеет место соотношение

 

b

r2 (j)

 

òòF (r,j )rd rdj = òdj ò F (r,j )rd r ,

(1)

S

a

r1 (j )

 

где F (r,j ) = f (r cosj, r sin j ).

Рис. 9 Внутренний интеграл вычисляется по р, считая (р постоян-

ной, но произвольной переменной, а внешний интеграл находится по j . Пределы внешнего интеграла всегда постоянны, а внутреннего, как правило, зависят от j . Если область интегрирования представляет круговой сектор или разность круговых секторов с центром в начале координат, то пределы интегрирования внутреннего интеграла постоянны.

13

Если область интегрирования ограничена линиями, имеющими различное аналитическое представление, то ее разбивают на части, а двойной интеграл представляют в виде суммы соответствующих интегралов.

2°. Пусть в двойном интеграле òò f (x, y )dxdy требуется от

S

переменных х, у перейти к переменным u, v, связанным соотношениями

x = x (u, v); y = y (u,v ) .

(2)

Функции (2) осуществляют взаимно однозначное и непрерывно дифференцируемое отображение областиG плоскости O1uv на область S плоскости Оху. Если якобиан этого отображения

 

x

 

x

I =

u

 

v

¹ 0

 

y

 

y

u v

не обращается в нуль наG и функция f (x, y ) непрерывна в области S, то справедлива формула

òò f (x, y)dxdy = òò(x (u, v ), y (u, v ))

 

I

 

dudv .

(3)

 

 

 

 

 

S

G

 

Производить замену переменных по формулам(2) целесообразно в том случае, если область интегрирования G интеграла (3) значительно проще области S.

2.1. Переходя к полярным координатам,

a

a2 -x2

 

 

 

 

a

a2 - y2

 

 

dx

 

 

 

а) òdx ò

x

2

+ y

2

dy ; б) òdy ò

 

 

 

 

.

 

 

a

2

- x

2

- y

2

0

0

 

 

 

 

0

ay- y2

 

 

 

 

14

Решение. а) Область интегрирования представляет первую

четверть

 

круга.

Переходя

 

к

 

 

полярным

координатам

x = r cosj, y = r sinj , получим

 

 

 

 

 

 

a a2 -x2

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

a

 

 

 

 

 

 

òdx

ò

x2

+ y2 dy = òdjò

r2 cos2 j + r2 sin2 j rd r =

0

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

a

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

a

3

 

 

p a

3

 

 

 

 

 

 

2

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

= ò

 

 

 

dj =

 

j

 

=

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

3

 

0

 

6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

Область

 

 

 

интегрирования

расположена

в первой

четверти

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

ограничена

двумя

: окруж

x2 + y2 = a2 , x2 + y2 = ay (рис. 10).

Рис. 10 Переходя к полярным координатам и учитывая, что урав-

нение внутренней окружности будет r = a sin j , получим

15

Источник: https://studfile.net/preview/16564671/

Смотрите также:

Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал
_10_Эмиль Золя для эл версии
_1966(~1