Материал: Кратные интегралы. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н

Рис. 17 б) Тело ограничено двумя пересекающимися гиперболи-

ческими цилиндрами и плоскостьюz = a 2 (рис. 18). Для нахождения объема рассмотрим четвертую часть. Проектируя на плоскость Oyz, будем иметь

Рис. 18

26

S

где d (x, y ) - поверхностная плотность пластинки в точке

(x, y ) .

2°. Статические моменты пластинки относительно координатных осей Ох и Оу вычисляются по формулам

Координаты центра тяжести пластинки

где т - масса пластинки.

3°. Моменты инерции пластинки относительно координатных осей и начала координат определяются по формулам

S

Момент инерции I0 , равный произведению массы на квад-

27

рат расстояния до полюса, принято называть полярным моментом инерции.

Если пластинка однородна, то в приведенных формулах следует положить d (x, y ) =1 .

4°. Для однородного цилиндрического тела с образующей, параллельной оси Oz, ограниченного поверхностью z = z(x, у), которая проектируется на плоскостьОху в область S, статические моменты относительно координатных плоскостей определяются по формулам

где m = òò zdxdy - масса цилиндрического тела.

S

5°. Моменты инерции однородного цилиндрического тела относительно координатных плоскостей находятся по формулам

5.1. Найти массу пластинки, имеющей форму прямоугольного треугольника с катетамиOA = a и OB = b , если плотность ее в любой точке пропорциональна расстоянию точки от катета ОВ.

Решение. Запишем уравнение прямойАВ, воспользовавшись уравнением прямой в отрезках на осях

28

Пользуясь формулой (1), находим, что масса пластинки (рис. 19) будет

где к - коэффициент пропорциональности.

29

Рис. 20 По формулам (2) находим статические моменты относи-

тельно координатных осей

Координаты центра тяжести по формулам (3) будут

5.3. Найти момент инерции относительно оси Оу площади треугольника с вершинами А (0, 2a ), B (a, 0) и С (a, a ).

Решение. Покажем треугольник на рис. 21.

30