(190)
Таким образом, все составляющие, входящие в закон ускоренного вращения (185), определены. Равномерное вращение электродвигателя и потребителя его механической энергии описывается формулой
. (191)
Из этой математической модели следуют такой вывод. Рабочий момент электродвигателя преодолевает все механические сопротивления , а сумма инерциальных моментов равномерно вращает электродвигатель и потребителя его механической энергии.
Анализ процесса перехода от ускоренного к равномерному вращению показывает более простой метод расчёта инерциального момента . Поскольку он является моментом сопротивления ускоренному вращению вместе с моментом рабочих и механических сопротивлений , то его величина входит в пусковой момент . Далее, если учесть, что при равномерном вращении рабочий момент незначительно превышает момент механических и рабочих сопротивлений , то инерциальный момент можно определять, как разность между пусковым и рабочим моментами, то есть
. (192)
Итак, методики расчёта всех показателей ускоренного и равномерного вращений электродвигателя и потребителя его механической энергии представлены. Следующий этап - расчёт дисбалансного привода.
На рис. 42 показана схема для вывода уравнения импульса инерциального момента, генерируемого дисбалансами и . Обратим внимание на то, что центральная шестерня 1 на валу электродвигателя и две шестерни 2 и 3 с дисбалансами и представляют единую механическую систему, поэтому проекции и центробежных сил инерции , действующих на оба дисбаланса, формируют пары с моментами (рис. 42):
(193)
(194)
Обратим внимание также и на то (рис 42), что в начальный момент способствует вращению вала 1 электродвигателя, поэтому он взят со знаком плюс, а - препятствует вращению, поэтому взят со знаком минус. Закономерность изменения моментов этих пар и будет формировать дополнительное воздействие на вал 1 электродвигателя и потребителя его механической энергии.
Рис. 42. Схема для анализа действия силы инерции на дисбалансы и : R-радиус центральной шестерни 1; r - радиусы дисбалансных шестерён 2 и 3; - радиус дисбалансов и
Анализ показывает, что теоретическая закономерность (195) изменения суммы моментов , как скалярных величин, близка к экспериментальной закономерности (рис. 43, сплошная искажённая синусоида).
(195)
Следует обратить внимание и на то (рис. 43), что положительная амплитуда импульсов моментов центробежных сил инерции дисбалансов и угол поворота вала электродвигателя, формирующий положительную амплитуду, больше отрицательной амплитуды и больше угла , формирующего отрицательную амплитуду импульса. На рис. 40 это отражено схематически импульсным увеличением рабочего момента с вершинами импульсов в точках А1, А2, А,…..
Амплитуда импульса при угле поворота дисбалансов на (рис. 43, сплошная искажённая синусоида) значительно меньше его теоретической величины. Обусловлено это тем, этот импульс соответствует моменту отключения вала электродвигателя от вала потребителя его механической энергии с помощью обгонной муфты. Так, что большая, теоретическая величина импульса передаётся только валу потребителя механической энергии и увеличивает его инерциальный момент .
Рис. 43. Экспериментальный (А) и теоретический (В) максимумы суммы импульсов составляющих и моментов центробежных сил инерции дисбалансов
Анализ представленной теории механодинамики работы дисбалансного привода показывает, что этот привод надо монтировать на корпусе потребителя механической энергии. В этом случае положительная и отрицательная амплитуды импульса окажутся на валу потребителя и большая величина положительной амплитуды импульса усилит вращение потребителя, а вал электродвигателя в этот момент будет отключён от вала потребителя и энергия, потребляемая электродвигателем из сети уменьшится. Из изложенного следует, возможен вариант дисбалансного источника энергии без обгонной муфты, если дисбалансные импульсы согласовать с импульсами нагрузки (рис. 43, b).
9.8 Дифференциальные уравнения движения центра масс механической системы
Классическим примером движущейся системы является движущийся трактор (рис. 44).
Рис. 44. К составлению дифференциальных уравнений движения системы
Выделим какую-нибудь точку системы с массой . Обозначим равнодействующую всех внешних сил сопротивления через , приложенных к точке а сил инерции - через . Равнодействующую внутренних сил обозначим . Если механическая система движется ускоренно, то её точка имеет ускорение и в соответствии с первым законом механодинамики уравнение её движения будет иметь вид
(196)
Таким образом, можно составить уравнение движения всех точек системы, затем спроектировать их на оси координат и искать решения полученных уравнений. Но такой путь очень сложен и применяется редко. В большинстве случаев при решении задач механодинамики достаточно знать некоторые суммарные характеристики движения системы в целом, а не каждой ее точки в отдельности. Эти суммарные характеристики определяются с помощью общих теорем динамики. При этом необходимо помнить, что центр масс механической системы может двигаться ускоренно, равномерно и замедленно и уравнения его движения будут аналогичны уравнениям движения материальной точки при соответствующих видах движений. Но в отличие от материальной точки на центр масс механической системы будут действовать ещё внутренние силы и их моменты.
Теорема. Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних и внутренних сил.
Чтобы найти этот закон, составим уравнение движения -той точки системы
, (197)
где - результирующая внешних сил сопротивления; - сила инерции; - внутренняя сила.
Затем сложим по членно левые и правые части полученного уравнения и найдем дифференциальные уравнения движения всех точек механической системы
. (198)
Так как сумма внутренних сил , то
(199)
где = 1, 2, 3,...,n.
После такого сложения сил должны получить общие характеристики системы: массу системы и ускорение ее центра масс. Зафиксируем положение центра масс C системы (рис. 44) с помощью радиуса-вектора , который определяется по формуле
(200)
где - масса всей системы (трактора). Перепишем уравнение (200) так
(201)
Продифференцируем левую и правую части равенства (201) дважды по времени
(202)
Учитывая что , имеем
(203)
где - ускорение центра масс системы. Подставляя результат (203) в формулу (199), получим
(204)
Это уравнение выражает теорему о движении центра масс системы.
Сравнивая полученное уравнение (204) с уравнением движения материальной точки , можем по другому сформулировать теорему.
Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы и силы инерции, действующие на систему.
Проектируя обе части уравнения на оси координат, получим:
(205)
Это дифференциальные уравнения движения центра масс системы в проекциях на декартовы оси координат.
Следствия теоремы
1. Если тело движется поступательно, то его движение полностью определяется движением центра масс.
2. Если тело движется не поступательно, то его движение можно рассматривать как движение материальной точки лишь в том случае, когда для определения положения тела достаточно знать положение его центра масс.
3. Из теоремы о движении центра масс имеем, если ньютоновская сила , то и , и
(206)
Из этого следует, что при равномерном движении механической системы сила инерции равна и противоположно направлена сумме сил механического сопротивления движению. Если это равенство выполняется строго, то скорость движения механической системы постоянна . Однако, в реальных условиях обычно и равномерное движение механической системы переходит в замедленное. В космосе, вдали от звёзд и планет и на движущуюся механическую систему действует только постоянная сила инерции . В результате механическая система движется прямолинейно и равномерно. Следовательно, когда движущая сила постоянна, то она преодолевает внешние сопротивления, а постоянная сила инерции движет механическую систему прямолинейно и равномерно с постоянной скоростью Это следствие второго закона механодинамики.
Если сумма внешних сил, действующих на систему, и сил инерции не равна нулю, но сумма их проекций на какую-либо ось (например, OX) равна нулю , то
(207)
Если , то , то есть в данном случае проекция скорости центра масс системы на ось OX - величина постоянная. Если же в этом случае то Отсюда следует, что Это следствие выражает закон сохранения движения центра масс системы.
Пример. Центр масс ротора электромотора смещен от оси вращения A на величину . Масса ротора , масса всех остальных частей (рис. 45). Определить, по зкому закону будет двигаться центр масс C электромотора, поставленного на гладкую горизонтальную плоскость, когда ротор вращается с постоянной угловой скоростью . Найти, какое максимальное горизонтальное усилие будет испытывать болт D, если с его помощью закрепить электромотор.
Решение. Движение мотора будет подчиняться закону сохранения движения центра масс системы. Так как плоскость гладкая, и сумма проекций всех внешних сил на ось OX равна нулю, то согласно закону сохранения движения центра масс системы , а это значит, что , то есть центр масс системы не будет перемещаться вдоль оси OX.
Следовательно, алгебраическая сумма произведений масс тел системы на проекции абсолютных перемещений их центров масс вдоль оси OX должна быть равна нулю. Поэтому, из рис. 45 имеем Поскольку то
Здесь: - масса ротора; - масса статора;
Рис. 45. К закону сохранения движения центра масс механической системы
Откуда
Следовательно, мотор будет совершать гармонические колебания с частотой вдоль оси OX. Если его закрепить одним болтом, то в соответствии с теоремой о движении центра масс системы, горизонтальная реакция на болт будет равна
где - координата центра масс системы.
Исходя из рис. 45 имеем
Так как то
При наличии болта поэтому, дифференцируя дважды по времени последнее выражение, получим
и сила будет равна Напомним ещё раз, что при синусоидальном законе колебаний механической системы на её центр масс действует не только активная сила, но и сила инерции, которая меняет своё направление также по синусоидальному закону и суммарное её действие на центр масс механической системы за период колебаний, равно нулю.
Пример. Диск массой =20 кг вращается относительно центра O с постоянной угловой скоростью OC=0,5cм. Найти главный вектор внешних сил, действующих на диск (реакцию опоры в точке О, рис. 46).
Рис. 46. К теореме о движении центра масс системы
Решение. Так как угловая скорость вращения постоянна , то в соответствии с теоремой о движении центра масс системы имеем: Тогда
9.9 Количество движения механической системы
Количество движения механической системы - векторная величина, как и количество движения материальной точки. Она равная геометрической сумме (главному вектору) количеств движений всех точек системы (рис. 47).
(208)
Рис. 47. Схема к определению количества движения механической системы
Проектируя уравнение (208) на оси координат, имеем:
Количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс. Как видно, вектор может принимать любые значения и даже оказываться равным нулю, поэтому по величине нельзя судить полностью о характере движения системы (рис. 48).
Рис. 48. К анализу количества движения механической системы
На рис. 48, а , но тело (система) движется (вращается). На рис. 48, b , значит и . Следовательно, количество движения системы характеризует только поступательную часть ее движения.
9.10 Теорема об изменении количества движения механической системы
Производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил, в том числе и сил инерции.
Доказательство. Количество движения механической системы равно
(209)
Напомним ещё раз, что началом движения механической системы является ускоренное движение. Главный признак ускоренного движения системы - наличие ускорения и присутствие его в математической модели, описывающей ускоренное движение. С учетом этого процесс дифференцирования уравнения (209) должен завершиться добавлением, в полученный результат, силы инерции. Учитывая изложенное, возьмём производную от левой и правой частей этого уравнения.
Поскольку , то
(210)
Это уравнение выражает теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме. В проекциях на оси координат получим:
(211)
Эта теорема имеет и другую формулировку. Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил, действующих на систему за тот же промежуток времени.
Доказательство. Пусть в момент времени , а при . Тогда, интегрируя выражение , имеем:
Изменение количества движения системы в проекциях на оси координат равно:
Можно найти связь доказанной теоремы с теоремой о движении центра масс системы. Теорема об изменении количества движения системы
(212)
Количество движения центра масс системы