Материал: Лаб практикум

комплексно-сопряженную пару, расположенную вблизи отметки K3. Строгое математическое определение этого значения K3 связано с

минимизацией функционала min ∫t ε2 (t)dt по коэффициенту усиле-

0

ния, где ε(t) – ошибка в системе.

С дальнейшим ростом коэффициента усиления K3 < K < Kпр доминирующая комплексно-сопряженная пара корней приближается к мнимой оси с увеличением мнимой составляющей, что приводит к ухудшению показателей качества. Так, время регулирования на этом участке меняется от оптимального до tр →∞ , а перерегулирование

растет до 100 %.

Отметим, что третий корень характеристического уравнения

движется из точки − 1 влево по действительной оси и существен-

T2

ного влияния на показатели качества не оказывает.

Результаты исследования запасов устойчивости и показателей качества системы в зависимости от коэффициента усиления K иллюстрируются на рис. 4.5, а, б, в, г, д.

Анализ точности линейной системы проводят с помощью разложения в степенной ряд передаточной функции ошибки

Φε (s) = 1 +W1 (s) :

Φε (s) = c0 + c11! s + c22! s2 +... + cnn! sn +...,

где Ci = d ii Φε (s) ds

Этот ряд является сходящимся при s < 1, что во временной области означает t > tр. Переходя к сигналам во временной области, получим выражение установившейся ошибки

61

62

При исследовании точности отработки ступенчатого входного сигнала u(t) =1(t) нужно найти всего лишь первый коэффициент

разложения в ряд C0, который для статической системы равен 1 +1K .

Таким образом, получаем установившуюся ошибку в системе на ступенчатое входное воздействие

ε(t) = 1 +1K 1(t).

Сточки зрения обеспечения высокой точности необходимо увеличивать коэффициент усиления разомкнутой системы, однако требования к запасам устойчивости и показателям качества ограничивают его значение, заставляя находить компромиссный вариант. На рис. 4.5, е представлен график изменения статической ошибки, который совместно с другими графиками на этом рисунке, позволяет выбрать наилучшее значение коэффициента усиления исходя из требований, предъявляемых к системе.

Анализ статической замкнутой системы, неустойчивой в разомкнутом состоянии

Пусть объект управления описывается неустойчивым апериодическим звеном. Необходимо за счет введения отрицательной обратной связи по выходному сигналу, как показано на рис. 4.6, обеспечить устойчивое функционирование системы.

K

Ts −1

Рис. 4.6

По критерию Найквиста замкнутая система будет устойчивой, когда годограф разомкнутой системы сделает половину оборота в положительном направлении вокруг точки -1 при изменении частоты от 0 до ∞ , поскольку в правой полуплоскости находится один полюс передаточной функции разомкнутой системы.

Годограф, представленный на рис. 4.7 а, является половиной окружности, начинающейся при ω = 0 в точке –K и заканчивающейся при ω →∞ в нуле. Условие устойчивости выполняется незави-

63

Логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы в виде неустойчивого апериодического звена, приведены на рис. 4.7, б, с помощью которых показаны соответствующие запас устойчивости по фазе γc и логарифмический запас устойчивости по

модулю L−m = 20lg K.

Экспериментальное определение запасов устойчивости непосредственным способом в соответствии со схемой на рис. 4.2, а не представляется возможным, так как разомкнутая система является неустойчивой, однако измерить запасы устойчивости на модели удается, подавая гармоническое воздействие на вход устойчивой замкнутой системы. Схема проведения эксперимента представлена на рис. 4.8, а.

По истечении времени переходного процесса в любой точке системы устанавливаются гармонические колебания с заданной частотой входного синусоидального сигнала генератора. Поскольку запасы устойчивости определяются по передаточной функции разомкнутой системы, то сравнивать выходной гармонический сиг-

65