Материал: Лаб практикум

Получим аналитические выражения траекторий движения на фазовой плоскости для первых четырех случаев расположения корней характеристического уравнения. В случае а) (см. табл. 3.1) корни λ1 = λ2 = 0 , когда параметры a =b = 0 . Уравнения состояния

принимают вид

.x1 (t) = x2 (t),

.x2 (t) = 0.

Отсюда уравнение фазовой траектории будет x2 (t) = x20 ,

а первая координата изменяется по закону x1 (t) = x20t + x10 .

Семейство фазовых траекторий в виде горизонтальных прямых для различных начальных условий показано на рис. 3.11, а.

Из рисунка видно, что фазовые траектории неограниченно удаляются от положения равновесия с течением времени, а это означает его неустойчивость.

Рис. 3.11

51

состояния имеют вид

x.1 (t) = x2 (t), x. 2 (t) = −ax2 (t).

Делим второе дифференциальное уравнение на первое

dx2 = −a. dx1

В результате интегрирования получаем уравнения фазовой траектории

x2 (t) = −ax1 (t) + C,

где C – константа интегрирования, зависящая от начальных условий:

C = ax10 + x20 .

Семейство фазовых траекторий в виде прямых линий с отрицательным наклоном представлено на рис. 3.11, б. При достижении горизонтальной оси x2 = 0 движение прекращается в ограниченной области положения равновесия, что означает его устойчивость. Решение уравнений состояния дает временные функции изменения координат

x1 (t) = xa20 (1 − e−at )+ x10 , x2 (t) = x20e−at .

вии, что a > 0, b > 0 и a > 2 b. Связь между параметрами структур-

ной модели и корнями характеристического уравнения определяется выражениями

52

Уравнения состояния

x.1 (t) = x2 (t),

x.2 (t) = −bx1 (t) − ax2 (t)

не позволяют получить уравнение фазовой траектории в явном виде, поскольку при интегрировании не удается разделить переменные. В таком случае используют параметрическое задание фазовой траектории в соответствии с найденным решением для координат вектора состояния

Семейство фазовых траекторий показано на рис. 3.11, в, из которого видно, что все траектории заканчиваются в нуле, а это означает асимптотическую устойчивость положения равновесия, получившего название “устойчивый узел”.

которое легко интегрируется.

В результате получаем фазовую траекторию в виде эллипса

53

На рис. 3.11, г представлено семейство фазовых траекторий, которое характеризует положение равновесия как устойчивое, поскольку движение происходит по замкнутой кривой в ограниченной области вокруг начала координат, зависящей от начальных условий.

Решение во временной области дает периодические функции изменения координат вектора состояния

Отметим, что амплитуда и фаза колебаний зависят от начальных условий, тогда как частота остается неизменной.

Аналогичную работу по отысканию решения уравнений состояния на фазовой плоскости и во временной области следует выполнить самостоятельно для оставшихся пяти случаев расположения корней характеристического уравнения.

Задание и порядок выполнения работы

1.Собрать структурные модели, представленные на рис. 3.1 и рис. 3.3, в соответствии с заданными преподавателем значениями

параметров K, T1 и T2. Убедиться в эквивалентности этих схем, получив с их помощью переходные и частотные характеристики. Для частотной характеристики достаточно снять три точки в области низких, средних и высоких частот. Результаты представить в виде осциллограмм и построенных ЛАФЧХ.

2.Идентификация колебательного звена по переходной характеристике. Рассчитать параметры структурной модели на рис 3.5

через заданные значения hуст, hm1, hm2 и Tк рис. 3.6. Получить требуемый переходный процесс.

3.Идентификация колебательного звена по частотной характеристике. Рассчитать параметры структурной модели на рис. 3.5 с

помощью заданных значений Aвх, Aвых1, Aвых2 и Tп на рис. 3.8, а, б. Получить требуемые осциллограммы на модели.

4. Для передаточных функций в таблице 3.1 найти аналитические выражения переходных характеристик и подтвердить их моделированием.

54

5.Для передаточных функций в таблице 1 построить ЛАФЧХ и годографы W ( jω) .

6.Найти аналитические решения уравнений состояния и определить фазовые траектории в оставшихся пяти случаях распределения корней характеристического уравнения, представленных на рис. 3.9.

7.При помощи моделирования получить семейства фазовых траекторий свободного движения в системе, соответствующие различным случаям распределения корней характеристического уравнения.

Вопросы для подготовки к работе

1.С какой целью структурную математическую модель представляют в виде параллельного соединения типовых динамических звеньев?

2.Почему передаточную функцию системы удобно представить

ввиде произведения типовых динамических звеньев?

3.Какими преимуществами обладает структурная математическая модель с обратными связями по переменным состояния?

4.О чем свидетельствует наличие прямой передачи сигнала в структурной математической модели по отношению к выражению передаточной функции?

5.Как будет выглядеть структурная модель системы второго порядка с дифференцирующим звеном второго порядка?

6.Как зависит переходная характеристика колебательного звена от действительной и мнимой частей корня характеристического уравнения?

7.Изобразите годограф передаточной функции колебательного

звена.

8.Напишите неминимально-фазовые передаточные функции системы второго порядка.

9.Дайте определение свободного и вынужденного движения в системе.

10.Дайте определение устойчивого положения равновесия линейной системы.

11.Дайте определения фазовой плоскости, фазовой траектории и фазового портрета.

Литература: [4, с. 310-327], [7, с. 118-132, 581-584].

55