Материал: Лаб практикум

где коэффициенты перед дробями являются вычетами передаточной функции, вычисленными в соответствующих полюсах. Получаем представление передаточной функции в виде параллельного соединения двух апериодических звеньев, как показано на рис. 3.1.

Рис. 3.1

Реакция на ступенчатое входное воздействие системы представляет собой сумму реакций апериодических звеньев, находящихся в параллельных ветвях соединения:

Упрощая последнее выражение, получим

На рис. 3.2 представлены графики переходных процессов в параллельных ветвях и их сумма для случая T1 > T2.

Из рисунка видно, что суммарный график h(t) имеет точку перегиба и представляет собой монотонно возрастающую функцию от нуля до установившегося значения, равного коэффициенту усиления K. Отметим, что в начальный момент времени не только выходной

41

сигнал равен нулю, но и его первая производная по времени также равна нулю, поскольку наклоны касательных в нуле к переходным характеристикам в ветвях параллельного соединения одинаковые по величине и противоположные по знаку. Это соответствует принятому соглашению о нулевых начальных условиях по умолчанию.

Структурная модель в виде последовательного соединения

Для получения логарифмических частотных характеристик удобно использовать метод разбиения передаточной функции на простые множители, что означает представление ее в виде произведения типовых динамических звеньев. Именно в виде произведения двух апериодических звеньев и задана передаточная функция системы в рассматриваемом примере. Таким образом, структурная модель принимает вид последовательного соединения двух апериодических звеньев на рис. 3.3, причем не имеет значения порядок их соединения.

Рис. 3.3

42

Логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики последовательного соединения получают путем суммирования соответственно амплитуд и фаз всех элементов соединения.

Результирующие ЛАФЧХ и годограф передаточной функции для рассматриваемого примера приведены на рис. 3.4, а и б.

ной и входной синусоидами практически отсутствует, а отношение амплитуды выходной синусоиды к амплитуде входной равно коэф-

фициенту усиления K. В области высоких частот ω ≥ 10 синусоиды

T2

43

находятся почти в противофазе, а амплитуда на выходе во много раз меньше амплитуды входного сигнала.

Годограф передаточной функции W ( jω) на рис. 3.4, б также

показывает изменения амплитуды и фазы с ростом частоты от нуля до бесконечности.

Структурная модель системы с обратными связями по переменным состояния

Такой способ представления структурной математической модели известен как метод приведения к канонической форме.

Для системы второго порядка структурная схема показана на рис. 3.5, где координаты вектора состояния x1 и x2 выбраны в качестве выходных сигналов интеграторов.

a

b

Рис. 3.5

Замыкая дважды контуры с обратными связями, находим выражение передаточной функции

W (s) = c . s2 + as +b

Разделив числитель и знаменатель этого выражения на коэффициент b, приведем передаточную функцию к виду колебательного устойчивого динамического звена

W (s) = K , T 2 s2 + 2ξTs +1

44

где коэффициент усиления K = bc , постоянная времени T = 1b , а

безразмерный коэффициент затухания ξ = ab . Корни характери-

стического уравнения колебательного устойчивого звена являются комплексно-сопряженными с отрицательной действительной частью, а это будет лишь в случае 0 <ξ <1.

Аналитическое выражение переходной характеристики колебательного устойчивого звена имеет вид

где действительная часть корня − Tξ определяет затухание колеба-

На рис. 3.6 представлен график этого переходного процесса, на котором показаны установившееся значение hуст, два первых максимальных значения hm1 и hm2, разделенные по времени на период колебания Tк.

Указанные значения будут использованы в работе для идентификации параметров модели колебательного звена.

h

hm1

hm2

hуст

Рис. 3.6

45