Материал: Лебедев-Степанов ВВедение в самосборку ансамблей наночастиц 2012

что является обобщением закона Фика на случай диффузии частиц во внешнем потенциале. Применение к (7.47) закона непрерывности (7.29) дает нестационарное уравнение диффузии во внешнем потенциале, обобщающее выражение (7.30):

Аналогично, рассматривая дрейф газа при наличии градиента температуры (данное явление называется термодиффузией), с учетом (4.42) и (7.40), а также соотношения Эйнштейна, можно получить выражение для скорости дрейфа частиц:

Коэффициент пропорциональности между скоростью дрейфа и величиной − ÑT по определению называется коэффициентом тер-

С учетом того, что при обычных температурах тепловая волна де Бройля λ очень мала по сравнению с расстоянием между частицами, коэффициент термодиффузии (7.50) отрицателен. Это означает, что молекулы невырожденного газа стремится концентрироваться в местах с более высокой температурой.

7.7. Аналогии с электричеством

Рассмотрим аналогичные величины (табл. 7.1).

Несмотря на очевидные параллели, соответствие между электричеством и диффузией не является точным. Так, концентрации отвечает и потенциал, и заряд. Аналогия становится более точной с обобщением теории диффузии: диффузионные явления связаны, во-

121

обще говоря, не с градиентом концентрации, а с градиентом химического потенциала.

7.8. Уравнения движения в вязкой среде

Движение потока непрерывной среды описывается уравнением вида

dt

122

где ρ – плотность среды, v – скорость потока, p – давление, член f описывает диссипацию энергии в гидродинамическом потоке. Согласно уравнению Навье-Стокса [25] указанная диссипативная функция для вязкой изотропной жидкости

где η =νρ и ξ – коэффициенты динамической вязкости и второй

вязкости соответственно; ν – коэффициент кинематической вязкости. Для несжимаемой жидкости функция (7.52) приобретает вид

где ρ и η – плотность и вязкость жидкости, v и p – скорость и дав-

ление как функции координат (радиуса-вектора) и времени.

Однако получить решение системы уравнений (7.54) – (7.55) для тела конечных размеров, движущегося в вязкой жидкости, в аналитическом виде без использования каких-либо приближений пока никому не удалось даже для самого простого случая, когда движущееся тело является твердым шаром.

Стокс решил задачу для этого самого простого случая, использовав приближение, в рамках которого в уравнении Навье–Стокса (7.52) пренебрегается двумя членами, стоящими в его левой части (это приближение называют иногда стоксовым приближением, а иногда – приближением ползучих течений). Силу, полученную с использованием такого подхода, называют силой Стокса.

123

При малых числах Рейнольдса Re = ulν (малая частица, движу-

щаяся с небольшой скоростью) из уравнения Навье–Стокса для несжимаемой жидкости можно получить:

В приближении Стокса подвижность частицы радиуса R равна

Коэффициент диффузии с учетом соотношения Эйнштейна

Бассе (Basset) получил более точное аналитическое решение для вышеупомянутой задачи [25, с. 133]. Силу сопротивления, полученную с использованием этого решения, можно представить в виде суммы трех слагаемых.

В этой формуле три слагаемых. Первое (сила Стокса) пропорционально ускорению тела, второе – скорости движущегося тела. Наконец, третье слагаемое зависит не только от (векторного) значения скорости шара в данный момент, но и ее значений во все предшествующие моменты времени. Это третье слагаемое обычно называют силой Бассе, которая зависит от предыстории движения частицы

.

7.9. Броуновское движение наночастиц

Рассмотрим уединенную малую броуновскую частицу (наночастицу) плотности ρ и объема V в жидкости. Поведение такой части-

цы (для простоты будем рассматривать одномерное движение) обычно описывают уравнением Ланжевена вида

124

ент трения (при описании зависимости силы трения от скорости здесь используется приближение Стокса), FB (t) – флуктуирующая

сила Ланжевена (или ланжевеновский источник), с которой молекулы жидкости действуют на рассматриваемую частицу вследствие микроскопического теплового движения, причем стохастические свойства силы Ланжевена удовлетворяют соотношениям

При этом коррелятор тепловых флуктуаций скорости частицы

Заметим, что разделение силы на две части – силу Стокса и силу Ланжевена – имеет смысл, если время корреляции ланжевеновского

источника τL много меньше характерных времен релаксации скоро-

сти. В нулевом приближении по параметру τL τ−1 время корреляции источника можно считать равным нулю. Такой случайный источник называется δ-коррелированным. Наличие дельта-функции δ (t − t') указывает, что время корреляции τL много меньше харак-

терного времени релаксации скорости τ .

Легко убедиться, что, согласно (7.61), средний квадрат флуктуаций скорости, как и требуется, отвечает теореме о равнораспределении поступательной кинетической энергии по степеням свободы:

m

125