Материал: Лебедев-Степанов ВВедение в самосборку ансамблей наночастиц 2012

Если, например, тело представляет собой шар с радиусом R, центр которого в момент t находится в точке r0, последнее выражение примет вид

Сила, действующая на тело, может быть найдена как интеграл тензора потока импульса по поверхности:

где интегрирование производится по поверхности тела. С учетом (7.3) это можно переписать в виде

где интегрирование ведется по объему данного тела и вблизи него (там, где имеет место взаимодействие). Для непроницаемого жесткого шарика интегрирование ведется по тонкому приповерхностному слою.

Рассмотрим равновесный идеальный газ с концентрацией n и температурой T. Плотность потока x-компоненты импульса через площадку, перпендикулярную оси y, определяется формулой mnvxvy, где n=δ(x,y,x). Речь идет о тепловом движении молекул. Вообще, тензор энергии-импульса запишется в виде:

Усредняя по времени, достаточно большому, чтобы за него произошло достаточно много столкновений (при этом предполагаем справедливой эргодическую гипотезу), получаем

3

при i = k , где

111

средний квадрат скорости, для тензора потока импульса (7.10) будем иметь

Таким образом, тензор потока импульса равновесного идеального

Впростейшем случае возмущение потока телом можно рассматривать как эффект непроницаемости поверхности тела для проникновения в него газа. Тогда граничные условия для импульса на поверхности сведутся просто к прерыванию потока на границе.

Вэтом случае легко показать, что сила, действующая на тело, будет пропорциональна градиенту концентрации и размерам тела.

Рассмотрим теперь идеальный газ, в котором мгновенно имеет место небольшой градиент концентрации вдоль оси x:

При этом предположим, что функция распределения молекул по скоростям остается максвелловской. В этом случае на тело, помещенное в газ, действует силапропорциональная градиенту плотности

где интегрирование проводится по объему взаимодействия V. Знак минус говорит, что речь идет о силе, приложенной средой к телу: эта

112

сила направлена против градиента давления. Разделив на объем взаимодействия, отвечающий частице, получаем плотность силы

Если имеется ансамбль таких частиц, то формула (7.17) характеризует среднюю силу, действующую на частицы, находящиеся в единице объема.

7.2. Подвижность

Итак, градиент концентрации приводит к наличию силы, действующей на помещенный в газ неподвижный предмет. Под действием этой силы тело, если оно будет отпущено, приобретет некоторую скорость, величина которой определяется подвижностью.

Как показывает эксперимент, при малых (по сравнению с тепловыми) скоростях движения частицы в среде, сила сопротивления среды F пропорциональна скорости и направлена в противополож-

большая (по сравнению со средней длиной свободного пробега) броуновская частица и малая молекула (например, того же сорта, что и все остальные).

Если броуновская частица движется в направлении действия на нее силы, то возникает дополнительная сила сопротивления. Природа этой силы – в асимметрии числа столкновений частицы с молекулами среды.

Если бы броуновская частица с площадью сечения столкновения S покоилась, то за единицу времени с ним фронтально столкнется Z=vn частиц. Столько же столкновений было бы и с противоположной стороны. Если частица движется со скоростью много меньшей тепловой, то количество ударов спереди и сзади по ходу движения уже не будет в среднем совпадать.

113