Материал: lektsii_po_teor_mekh_-kin_stat

На ось Х проекции всех сил равны нулю

P cos + T₁ + T₂ + R_Ay + R_BY = 0 (1)

- P sin + R_Az + R_Bz = 0 (2)

r₂P + r₁T₁ – r₁T₂ = 0 (3)

b*P sin - (a + b)R_Bz = 0 (4)

b*P cos - aT₁ – aT₂ + (a + b)R_By = 0 (5)

Решая эту систему уравнений, находим, что T₁ =2.7 kH, T₂ =1.35 kH,

R_Az = 0.36 kH, R_Ay = -6.3 kH, R_Bz, = 0.54 kH, R_By. = 0.69 kH.

Ответ: T₁ =2.7 kH, T₂ =1.35 kH, R_Az = 0.36 kH, R_Ay = -6.3 kH, R_Bz = 0.54 kH,

R_By = 0.69 kH.

Вопросы для самоконтроля

1. Как определяется момент силы относительно оси?

2. Уравнения равновесия твердого тела под действием пространственной системы сил?

3. Приведение пространственной системы сил к заданному центру?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 6.1 – 6.21, 7.1 – 7.12, 8.1 – 8.44 [2].

Література: [1], [3], [4].

Лекция 6.

Трение. Центр тяжести твердого тела.

Законы трения скольжения

Причиной трения является, прежде всего, шероховатость поверхностей и наличие молекулярных сил сцепления прижатых друг к другу тел.

1. При стремлении сдвинуть одно тело по поверхности другого в плоскости соприкосновения тел возникает сила трения, величина которой может принимать любые значения от 0 до значений F_пр, называемой предельной силой трения. Сила трения направлена в сторону, противоположную той, куда действующие силы стремятся сдвинуть тело.

2. Величина предельной силы равна произведению статического коэффициента трения на нормальное давление или нормальную реакцию:

F_пр = ¦₀N.

3. Величина предельной силы трения не зависит от размеров соприкасающихся при трении поверхностей. При равновесии сила трения покоя: F £ ¦₀N.

При движении сила трения направлена в сторону, противоположную движению, и равна произведению динамического коэффициента трения на нормальное давление: F = ¦N.

Значение динамического коэффициента ¦ зависит не только от материала и от состояния поверхности, но и от скорости движения.

Реакции шероховатых связей. Угол трения

Если поверхность считается шероховатой, то надо учитывать силу трения. Т.е. шероховатая связь будет слагаться из двух составляющих: из нормальной реакции и перпендикулярной к ней силы трения . Поэтому полная реакция будет отклонена от нормали и поверхности на некоторый угол (рис. 6.1).

Рис. 6.1

При изменении силы трения от нуля до сила будет меняться от до , а ее угол с нормалью будет расти от нуля до некоторого предельного значения . Наибольший угол , который образует полная реакция шероховатой связи с нормалью с поверхностью называется углом трения. Из чертежа видно, что

.

Так как , то отсюда находим следующую связь между углом трения и коэффициентом трения

.

Трение качения и верчения

Т рением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.

Рассмотрим круглый цилиндрический каток, лежащий на горизонтальной шероховатой поверхности (плоскости), вследствие деформации катка касания тел происходит вдоль некоторой площадки АВ (рис. 6.2).

П

Рис. 6.2

усть Р – сила тяжести катка, радиусом R, к которому приложена сила Q. Под действием силы Q давление на поверхность возрастает от края А к краю В, поэтому сила реакции N смещена относительно центра катка О. Величина смещения (расстояние АВ) возрастает с увеличением силы Q до некоторой предельной величины К. Поэтому в предельном положении на каток будет действовать пара (Q_пр, F) с моментом Q_пр*R и уравновешивающая ее пара (N, P) с моментом N_к. Из равенства моментов определяем Q_пр*R = Nk или Q_пр = К*N/R.

При Q < Q_пр каток находится в покое; при Q > Q_пр – начинается качение.

Величина К называется коэффициентом трения; К измеряется в линейных единицах, например, в сантиметрах.

Понятие о трении верчения

Если к шару, лежащему на горизонтальной плоскости приложить пару сил с моментом М, расположенную тоже в горизонтальной плоскости, то пара будет стремиться повернуть шар вокруг вертикальной оси. Опыт показывает, что шар начнет вращаться только тогда, когда значение М будет больше некоторой предельной величины М_пр, определяемой равенством

, (6.1)

г де N – сила нормального давления на плоскость, равная в данном случае весу шара. Объясняется этот результат наличием трения верчения шара о плоскость. Входящий в равенство (6.1) коэффициент λ, имеющий размерность длины, называется коэффициентом трения верчения. По величине этот коэффициент меньше трения качения k.

Рис. 6.3

Пример. Определить, какую силу Q, направленную под углом a = 30⁰ к горизонту, надо приложить к грузу массой 10кг, лежащему на горизонтальной поверхности, чтобы его сдвинуть с места, если статический коэффициент трения груза о плоскость ¦₀ = 0,8 (рис. 6.3).

Решение : на данное тело действуют следующие силы:

P – сила тяжести = mg;

N – сила нормальной реакции опоры;

F _тр – сила трения;

Q – действующая сила.

П ри равновесии тела должно выполнятся условие: N + Q + P + F_тр = 0.

Выберем систему координат и спроектируем это векторное уравнение на оси Х и Y:

Q cosa - F_тр = 0; N + Q sina - P = 0;

Отсюда следует, что N = p – Q sina, так как F_тр = ¦₀N, то

Q cosa = ¦₀N = ¦₀P – Q*¦₀ sina или Q(cosa + ¦₀ sina) = ¦₀P, отсюда

Ответ: Q = 52H.

Центр тяжести. Центр параллельных сил

Р ассмотрим систему параллельных и одинаково направленных сил F₁, F₂, …, F_n приложенных к телу в точках A₁, A₂, …, A_n. Эта система имеет равнодействующую R, направленную как слагаемые силы, а по модулю равна: R = å F_i.

Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей силы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил.

Формулы для определения координат центра параллельных сил:

; ; .

Центр тяжести твердых тел

Твердое тело состоит из набора частиц, которые обладают силой тяжести. Силы тяжести всех этих частиц направлены к центру Земли, но, учитывая, что размеры Земли несоизмеримо больше размеров тела, то эти силы можно считать параллельными.

Таким образом, центром тяжести твердого тела называется неизменно связанная с этим телом точка, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц данного тела при любом положении тела в пространстве.

Координаты центра тяжести тела как центра параллельных сил определяются по формулам:

; ; ,

где Pi – сила тяжести i-ой частицы тела;

P – сила тяжести всего тела: P = å P_i.

Координаты центра тяжести однородного тела:

; ; ,

где Vi – объем i-ой частицы тела;

V – объем тела, V = å V_i.

Координаты центра тяжести однородной линии:

; ; ,

где li – длина i-ой части линии;

L – длина всей линии, L = å l_i.

Определение координат центра тяжести однородной плоской фигуры

Координаты однородной плоской фигуры определяются по формулам:

, (6.2)

, (6.3)

где X_ic, Y_ic – координаты центра тяжести

i - части фигуры,

S_i - площадь i – части фигуры.

Центры тяжести некоторых однородных тел:

1. Треугольник

, (6.4)

, (6.5)

где x₁, x₂, x₃, y₁, y₂, y₃ – соответственно абсциссы и ординаты вершин треугольника.

2. Круговой сектор (рис. 6.4):

Рис. 6.4

(6.6)

Площадь сектора: S = R² (6.7)

3. Круговой сегмент (рис. 6.5):

Рис. 6.5

, (6.8)

Площадь сегмента: S = ½ R²(2 – sin 2), (6.9)

Примеры выполнения заданий

Задача 1 (способ разбиения)

Определить координаты центра тяжести плоской фигуры, представленной на

рис. 6.6:

Рис. 6.6

Решение

Разбиваем данное плоское тело на части, для каждой из которых положение центра тяжести известно. Тогда координаты центра тяжести всего тела можно вычислить по формулам (1) и (2).