Материал: ЛК Осипенко КЮ - весна 2021 (1 сем)
|
81 |
|||
Отсюда 1 = 3V=(2S) = |
3xyz=(2S). Подставим это значение в |
|||
систему. Имеем |
|
|
|
|
yz |
3 |
|
|
xyz(y + z) = 0; |
|
|
|
||
|
S |
|||
xz |
3 |
|
xyz(x + z) = 0; |
|
|
|
|||
|
S |
|||
xy |
3 |
xyz(x + y) = 0: |
||
|
||||
|
S |
|||
После сокращений получаем
1S3 (xy + xz) = 0;
1S3 (xy + yz) = 0;
1S3 (xz + yz) = 0:
Вычитая из первого уравнения второе, получим x = y. Вычитая
из первого уравнения третье, получим x = z. Тем самым
√
x = y = z = |
S |
: |
|
6 |
|||
|
|
Кратные интегралы
57. Геометрическая фигура. Общее определение интегралов: определенного, криволинейного I-го
рода, двойного, поверхностного I-го рода и тройного
Определение 38. Геометрической фигурой G будем называть один из следующих объектов:
1. Отрезок на вещественной прямой [a; b].
2. Кривая на плоскости или в пространстве.
3.Плоская область D.
4.Поверхность S.
5.Объемная область V .
Определение 39. Диаметром геометрической фигуры d(G) íà-
зывается максимальное расстояние между двумя произвольными точками G.
Определение 40. Мерой геометрической фигуры jGj называется:
1.j[a; b]j длина отрезка.
2.j j длина кривой.
3.jDj площадь области.
4.jSj площадь поверхности.
5.jV j объем области.
82
Пусть задана геометрическая фигура G. Разобьем ее на части
1; : : : ; N и в каждой части j выберем точку Pj. Полученное множество частей вместе с выбранными точками будем называть разбиением T геометрической фигуры. Диаметром разбиения назовем
величину
d(T ) = max d( j):
1 j N
Определение 41. Пусть задана функция f(M) в точках геометрической фигуры G и некоторое разбиение T этой геометрической фигуры. Интегральной суммой называется величина
∑N
S(T ) = f(Pj)j jj:
j=1
Определение 42. Интегралом от функции f(M) по геометриче-
ской фигуре G называется
∫
f(M) d = lim S(T ):
Gd(T )!0
Âзависимости от того, к какому типу из пяти относится геометрическая фигура, мы фактически определили пять типов интегралов. Рассмотрим эти типы подробнее.
1. G = [a; b]. В этом случае мы приходим к уже знакомому определенному интегралу
∫ b f(x) dx = lim |
∑ |
|
N |
f( j)∆xj: |
ad(T )!0 j=1
2.G = . В этом случае мы приходим к интегралу, который
называется криволинейный интеграл I-го рода
∑N
f(M) dl |
lim |
f |
P |
l ; |
∫ |
= d(T )!0 j=1 |
( |
|
j)∆ j |
ãäå ∆lj длины кусков, на которые разбивается вся кривая . Функция f(M) может зависеть от двух переменных f(x; y) или от трех переменных f(x; y; z) в зависимости от того, плоская или про-
странственная кривая .
3. G = D. В этом случае получается двойной интеграл.
∫∫D |
( ) |
= d(T )!0 j=1 |
j j j |
|
|
∑ |
|
|
|
N |
|
|
f x; y dxdy |
lim |
f( ; )∆s ; |
ãäå ∆sj площади кусков, на которые разбита область D.
4. G = S. В этом случае интеграл называется поверхностным I-го
ðîäà |
∫∫S |
( |
) = d(T )!0 j=1 |
( j)∆ j |
|
|
|||||
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
f x; y; z |
ds |
lim |
f P q ; |
83
ãäå ∆qj площади кусков, на которые разбита поверхность S. 5. G = V . В этом случае получается тройной интеграл
∫∫∫V |
( |
) |
= d(T )!0 j=1 |
j j |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
N |
|
|
f x; y; z |
dxdydz |
lim |
f(P )∆v ; |
ãäå ∆vj объемы кусков, на которые разбита область V .
58. Теорема о существовании интеграла по геометрической фигуре
Определение 43. Геометрическая фигура называется ограниченной, если существует шар, содержащий эту фигуру.
Точка называется граничной точкой геометрической фигуры, если в любой ее окрестности есть точки как принадлежащие этой фигуре, так и не принадлежащие ей.
Определение 45. Геометрическая фигура называется замкнутой, если все граничные точки ее принадлежат ей.
Теорема 37 (теорема существования). Если функция f(M) непре-
рывна в ограниченной и замкнутой геометрической фигуре G, òî
∫
интеграл G f(M) d существует.
59. Свойства кратных интегралов. Теорема о среднем
Будем считать, что для всех встречающихся интегралов выполнены условия теоремы существования (теоремы 37). Мы не даем доказательств ряда приводимых ниже свойств, т.к. они непосредственно вытекают из определения интеграла и свойств предела.
1. |
∫ |
Cf(M) d = C ∫ |
f(M) d; C 2 R: |
|||
2. |
|
G |
|
|
G |
|
∫G(f(M) + g(M)) d = ∫G f(M) d + ∫G g(M) d: |
||||||
|
||||||
3. |
∫G f(M) d = ∫G1 f(M) d + ∫G2 f(M) d; |
|||||
4. |
ãäå G = G1 [ G2. |
∫G |
|
|
||
|
|
1 d |
= jGj: |
|||
5. |
Åñëè f(M) 0 ïðè âñåõ M 2 G, òî |
|||||
|
|
∫ |
f(M) d 0: |
|||
G
84
6.Åñëè f(M) g(M) ïðè âñåõ M 2 G, òî
∫∫
f(M) d g(M) d:
GG
Доказательство. Рассмотрим функцию φ(M) = f(M) g(M). В силу условия φ(M) 0 ïðè âñåõ M 2 G. Из предыдущего свойства ∫
φ(M) d 0:
G
А из свойств 1., 2. вытекает, что
∫G φ(M) d = ∫G f(M) d |
∫G g(M) d: |
|
|
7. Åñëè c f(M) C ïðè âñåõ M 2 G, òî |
|
cjGj ∫G f(M) d |
CjGj: |
Доказательство. Из предыдущего свойства и свойств 1, 4
имеем ∫G f(M) d |
∫G C d |
= C ∫G |
1 d |
= CjGj: |
|
Аналогично получаем |
|
|
|
|
|
∫G f(M) d |
|
∫G c d |
= c ∫G |
1 d |
= cjGj: |
Геометрическая фигура называется связной, если любые ее две точки могут быть соединены кривой, целиком лежащей в этой геометрической фигуре.
Теорема 38. Если функция f(M) непрерывна в ограниченной, за-
мкнутой и связной геометрической фигуре, то она принимает все свои значения между точными нижней и верхней гранями по этой геометрической фигуре.
Теорема 39. (теорема о среднем) Пусть функция f(M) непрерывна в ограниченной, замкнутой и связной геометрической фигуре
G |
. Тогда найдется точка M такая, что |
|
|
∫ |
|
|
|
|
f(M) d = f(M )jGj: |
(28) |
|
G
85
Доказательство. Обозначим через c è C точные нижнюю и верхнюю грани по геометрической фигуре G. Тогда c f(M) C ïðè
âñåõ M 2 G. Из свойства 7 имеем
∫
c 1 f(M) d C: jGj G
Из теоремы 38 следует, что найдется точка M такая, что
f(M ) = |
1 |
∫G f(M) d: |
|
jGj |
|
||
Тем самым справедливо равенство (28). |
|
||
60. Геометрический смысл двойного интеграла. Вычисление двойных интегралов с помощью
повторных интегралов
Рассмотрим задачу о вычислении объема цилиндрического тела, в основании которого лежит область D в плоскости Oxy, образу-
ющая параллельна оси Oz, а верхняя часть поверхность, задаваемая функцией f(x; y). Поступим следующим образом. Разобьем всю область D на части 1; : : : ; N . В каждой части выберем точ- ку ( j; j) и посчитаем объем каждой части, если бы высота была постоянна f( j; j). Объемы таких цилиндрических частей равны f( j; j)j jj, а объем нашего тело будет приблизительно равен сумме всех таких объемов
∑N
f( j; j)j jj:
j=1
Ясно, что при измельчении таких разбиений мы будем получать все более точное значение искомого объема. Но в пределе такие суммы дадут двойной интеграл от функции f(x; y) по области D.
Тем самым геометрический смысл двойного интеграла
∫∫
f(x; y) dxdy
D
состоит в том, что он выражает объем цилиндрического тела с основанием D, образующей, параллельной оси Oz и верхней частью,
являющейся поверхностью z = f(x; y).
Пусть область D является прямоугольником
D = f (x; y) : a x b; c y d g:
Теорема 40. Пусть функция f(x; y) определена в прямоугольнике D, существует ∫∫
f(x; y) dxdy
D