Материал: ЛК Осипенко КЮ - весна 2021 (1 сем)

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

67. Сведение криволинейного интеграла I-го рода к определенному интегралу

Пусть в пространстве задана кривая и функция f(x; y; z), определенная в точках этой кривой. Напомним определение кри-

волинейного интеграла I-го рода. Кривую

разобьем на части

1; : : : ; N . В каждом куске

j выберем точку Pj. Тогда

∫

∑

x; y; z

lim

f(P

)∆l

;

(

)

= d(T )!0 j=1

ãäå T соответствующее разбиение, а ∆lj длина

Пусть кривая

задана в параметрическом виде

x = x(t);

8y = y(t);

<z = z(t);

Разобьем отрезок

[

;

точками

= t0

< t1

< : : : < tN =

Тогда кривая разобьется на части

j, которые есть части исходной

кривой, когда параметр t меняется на отрезке [tj

1; tj]. Длина части

кривой

j записывается в виде

∫tjtj

√

dt:

∆lj =

x′2(t) + y′2(t) + z′2(t)

По теореме о среднем найдется точка j, для которой

∫tjtj1 √

dt = √

x′2( j) + y′2( j) + z′2( j)∆tj;

x′2(t) + y′2(t) + z′2(t)

ãäå

∆tj

= tj

tj 1.

Выберем

качестве

точек

точки

(x( j); y( j); z( j)). Тогда

∫

f(x; y; z) dl

j))√

∑

lim

; y

; z

x 2

y 2

= d(T )!0 j=1

(

′

(

j) +

′

(

j) +

′

(

j)∆ j

∫

√

=f(x(t); y(t); z(t)) x′2(t) + y′2(t) + z′2(t) dt:

В случае плоской кривой получаем формулу

	√
∫	f(x; y) dl = ∫ f(x(t); y(t))	x′2(t) + y′2(t))	dt:

Если кривая задана функцией y = φ(x), x 2 [a; b], òî

∫	f(x; y) dl = ∫	√
		b f(x; φ(x)) 1 + φ′2(x) dx:


y	6		y = φ(x)
y	6

	qO aq	bq -		x

Ðèñ. 59

Лекция 4 мая 2021 г.

Пример 42. Вычислить				∫
					y2 dl;
ãäå	окружность радиуса R с центром в начале координат.
Окружность можно задать в параметрическом виде
			x = R cos t;
		{y = R sin t;				0 t 2 :
Следовательно,
∫	y2 dl = ∫0	2 R2 sin2 t
				( R sin t)2 + (R cos t)2 dt
			√2				R3		2
		= R3	∫0	sin2 t dt =				∫0	(1 cos 2t) dt = R3:
							2
	68.	Криволинейный интеграл II-го рода
Определение 49. Незамкнутая кривая									называется ориенти-

рованной, если на ней указаны начальная точка и конечная точка. Замкнутая кривая называется ориентированной, если на ней задано направление обхода.

Aq	:

Ðèñ. 60

98
Пусть задана ориентированная кривая	в пространстве и

функция f(x; y; z), определенная в точках этой кривой. Разобьем всю кривую на части точками M0; M1; : : : ; MN . На каждом куске Mj 1Mj выберем точку Pj, j = 1; : : : ; N. Для полученного разбиения T напишем интегральную сумму

∑N

f(Pj)∆xj;

j=1

ãäå

∆xj = ïðOxMj 1Mj:

Определение 50. Криволинейным интегралом II-рода называется

					∑
					N
f		x; y; z		dx	lim	f(P	)∆x	:
∫	(		)		= d(T )!0 j=1	j	j

Тем самым интеграл II-го рода отличается от I-го тем, что в интегральных суммах значение функции умножается не на длину куска, а на его проекцию на ось Ox. Поэтому имеет значение направление,

выбранное на кривой. Аналогично можно определить интегралы
∫ f(x; y; z) dy;	∫ f(x; y; z) dz

с проекциями на оси Oy è Oz.

Определение 51. Составным криволинейным интегралом II-го

рода называется интеграл

∫ ∫ ∫ ∫

P dx + Q dy + R dz = P dx + Q dy + R dz:

69. Свойства криволинейного интеграла II-го рода и его физический смысл

Для краткости выпишем свойства криволинейного интеграла IIго рода только для одного вида из трех, например, для проекции на ось Ox.


1.		∫	Cf(P ) dx =		C ∫	f(P ) dx:
2.	∫ (f(P ) + g(P )) dx = ∫				f(P ) dx + ∫			g(P ) dx:
3.	∫	f(P ) dx = ∫		f(P ) dx + ∫			f(P ) dx

Определение 52.

qB C q 2

q*1

Ðèñ. 61

4. ∫

1 dx = ïðOxAB

Ðèñ. 62

∫

f(P ) dx =

∫

f(P ) dx;

ãäå

кривая

, на которой направление изменено на про-

тивоположное.

Пусть в каждой точке некоторой пространственной области задан вектор. Тогда говорят, что в этой области задано векторное поле

F (M) = (P (M); Q(M); R(M)):

Предположим, что в некоторой области задано силовое поле F (M) = (P (M); Q(M); R(M)) и некоторая ориентированная кри-

вая . Найдем работу, которая совершается по перемещению по этой кривой в силовом поле F (M). Кривую разобьем на части

1; : : : ; N . В каждом куске j выберем точку Mj. Тогда достаточно малый кусок j мало отличается от прямолинейного куска соеди-

няющего начало и конец кривой j. Обозначим этот вектор через ∆lj = (∆xj; ∆yj; ∆zj). Вектор силы на малом куске j мало отли- чается от F (Mj). Поэтому работа по перемещения на этом куске

100

приближенно равна скалярному произведению векторов F (Mj) è ∆lj

(F (Mj); ∆lj) = P (Mj)∆xj + Q(Mj)∆yj + R(Mj)∆zj:

Суммируя все эти величины и переходя к пределу при измельче- нии разбиений, мы приходим к тому, что работа выражается через

составной криволинейный интеграл II-го рода

∫

A = P dx + Q dy + R dz:

Åñëè F = (P; Q; R), то для составного криволинейного интеграла II-рода часто используется запись

∫∫


	F dl =	P dx + Q dy + R dz:
Определение 53. Циркуляцией векторного поля F = (P; Q; R)
вдоль замкнутой кривой		называется величина
I	P dx + Q dy + R dz = ∫		P dx + Q dy + R dz:

Используется также запись

Fdl:

70.Вычисление криволинейного интеграла II-ãî ðîäà

Пусть кривая задана в параметрическом виде

	>	x = x(t);
	8y = y(t);		t	:
Будем считать, что	>
Будем считать, что	:
	<z = z(t);

начальной точке кривой соответствует параметр t = , а если кривая замкнута, то при изменении параметра

t от до направление обхода совпадает с заданным. Разобьем отрезок [ ; ] точками = t0 < t1 < : : : < tN = . Тогда кривая

разобьется на части j, которые есть части исходной кривой, когда параметр t меняется на отрезке [tj 1; tj]. Проекция части кривой j записывается в виде

∆xj = x(tj) x(tj 1):

По теореме Лагранжа найдется точка j, для которой x(tj) x(tj 1) = x′( j)∆tj;

Источник: https://studfile.net/preview/16464738/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Исламское государство': причины возникновения, тенденции развития, технологии противостояния