Материал: ЛК Осипенко КЮ - весна 2021 (1 сем)

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

101

ãäå

∆tj =

 

tj

tj 1. Выберем

â

 

качестве

точек

Pj точки

(x( j); y( j); z( j)). Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

 

 

 

 

∑

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

x; y; z

 

dx

lim

f

 

x

 

 

; y

 

 

; z

 

 

 

x′

 

 

t

 

(

 

)

 

= d(T )!0 j=1

 

(

(

 

j)

(

 

j)

 

(

 

j))

 

(

 

j)∆

j

∫

= f(x(t); y(t); z(t))x′(t) dt:

Такие же формулы имеют место для проекций на оси Oy è Oz

∫∫

f(x; y; z) dy = f(x(t); y(t); z(t))y′(t) dt;

∫∫

f(x; y; z) dz = f(x(t); y(t); z(t))z′(t) dt:

В общем случае для составного криволинейного интеграла II-го рода имеем

∫

P (x; y; z) dx + Q(x; y; z) dy + R(x; y; z) dz

=(P (x(t); y(t); z(t))x′(t) + Q(x(t); y(t); z(t))y′(t)

+ R(x(t); y(t); z(t))z′(t)) dt:

В плоском случае имеем

∫

P (x; y) dx + Q(x; y) dy

=(P (x(t); y(t))x′(t) + Q(x(t); y(t))y′(t)) dt:

 

 

 

 

 

 

 

Если кривая задана функцией y = f(x), x 2 [a; b], òî

∫

P (x; y) dx+Q(x; y) dy = ∫ab(P (x; f(x))+Q(x; f(x))f′(x)) dx: (31)

 

 

y

 

6

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = f(x)

 

 

 

 

qO aq

 

 

bq -

x

Ðèñ. 63

102

 

 

 

 

 

 

 

Отметим, что если ограниченная кривая

перпендикулярна оси

Ox, то ее можно задать в виде

 

 

 

 

 

 

 

x = x

;

 

 

 

 

 

 

{y = y;0

c y d:

 

 

 

y

 

6

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

q

 

 

 

 

 

 

q

 

6

 

 

 

c

 

 

q

 

 

 

 

 

qO

 

qx0

-

x

 

 

 

 

 

Ðèñ. 64

В этом случае

∫

P (x; y) dx + Q(x; y) dy = ∫c d Q(x0; y) dy:

Пример 43. Вычислить работу, совершаемую при движении по винтовой линии

 

x = R cos t;

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8y = R sin t;

0

 

t

 

2 ;

 

>

H

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в силовом поле

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

t;

 

 

 

 

 

 

 

<z =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F = (x; y; 2x

 

 

z):

 

 

 

 

 

 

 

 

z

6

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

O

 

 

 

-y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 65

103

Имеем

 

2 (R cos t(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = ∫

F dl = ∫0

R sin t) + R sin t(R cos t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

H

 

H

2

 

 

 

 

 

H

 

 

 

 

+ (2R cos t

 

 

t)

 

)dt =

 

∫0

(2R cos t

 

 

t) dt

 

 

 

2

2

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

H

2

t2

 

2

=

H

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2 )

 

2

0

 

2

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

71.

Формула Грина

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть дана плоская область D с границей .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение 54. Будем говорить, что на кривой

 

выбрано по-

ложительное направление обхода, если при движении по этой кривой область D остается слева.

При этом считается, что сама система координат на плоскости правая (т.е. ось Oy получается из оси Ox поворотом ее на угол =2).

s D

Ðèñ. 66

Теорема 41 (формула Грина). Пусть имеется область D, îãðà-

ниченная кривой с выбранным на ней положительным направлением обхода. Пусть функции P (x; y) è Q(x; y) непрерывны вместе

со своими частными производными в области D. Тогда имеет место равенство

 

 

@Q

 

@P

I

P dx + Q dy = ∫∫D (

 

 

 

) dxdy:

@x

@y

Доказательство. Рассмотрим область вида 1 (рис. 67).

Докажем, что для такой области справедливо равенство

 

 

I P dx =

∫∫D @y dxdy:

(32)

 

 

 

 

@P

 

 

 

Имеем I

P dx = ∫

P dx + ∫

P dx + ∫

P dx + ∫

P dx:

1

2

3

4

104

y

 

6

 

 

 

 

 

3

 

 

 

y = y2(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

?

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

y = y1(x)

 

 

qO

aq

 

bq

 

 

1

 

-

x

 

 

 

Ðèñ. 67

Интегралы по кривым 2 è 4 равны нулю, так как кривые перпендикулярны оси Ox. Для оставшихся кривых применим формулу

(31) и учтем направления на кривых

I ∫ b ∫ b

P dx = P (x; y1(x)) dx P (x; y2(x)) dx:

a a

В двойном интеграле перейдем к повторному

∫∫D @y dxdy =

∫a

dx

∫y1(x) @y dy =

 

@P

b

 

y2(x) @P

∫ b

= P (x; y1(x)) dx

a

∫

 

 

y2

(x)

ab

b

 

 

 

dxP (x; y) y1(x)

∫a

 

 

 

 

 

P (x; y2(x)) dx:

Пришли к тому же выражению, какое было получено для криволинейного интеграла.

Аналогично доказывается равенство

 

 

(33)

 

I

Q dy =

∫∫D @x dxdy:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@Q

 

 

 

для областей типа 2 (рис. 68).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

c

 

4

?

1

-

 

62

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = x1(y) x = x2(y-)

 

 

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

Ðèñ. 68

Если вся область может быть на куски типа 1, то применив к

каждому куску равенство (32), а потом сложив все равенства (криволинейные интегралы на границе кусков сократятся, так как они

105

будут проходится два раза в противоположных направлениях) получим справедливость (32) для всей области. То же справедливо и для областей типа 2. Таким образом, если область допускает раз-

биение и на области типа 1, и на области типа 2, то утверждение

доказано. Исследованием условий, при которых вся область допускает разбиение на части этих двух типов мы заниматься не будем.

Скажем лишь, что множество областей, для которых справедлива

формула Грина, достаточно обширное.

 

Пример 44. Вычислить циркуляцию векторного поля F (x; y) =

(3y; x) по окружности CR : x2 + y2 = R2

с положительным на-

правлением обхода.

 

 

 

Воспользуемся формулой Грина

 

 

ICR

3y dx + x dy = ∫∫DR (1

3) dxdy;

ãäå DR круг радиуса R с центром в начале координат. Вынося

постоянную

2 за интеграл и учитывая, что jDRj = R2, ïîëó-

÷àåì

 

ICR

3y dx + x dy = 2 R2:
Источник: https://studfile.net/preview/16464738/

Смотрите также:

_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Исламское государство': причины возникновения, тенденции развития, технологии противостояния