Материал: ЛК Осипенко КЮ - весна 2021 (1 сем)

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Если вращать криволинейную трапецию, которая соответствует этой функции, то получится тело вращения. В каждой точке x 2 [a; b] легко посчитать площадь сечения это площадь круга

радиуса R = f(x). Тем самым S(x) = f2(x). Следовательно, объем

этого тела вращения равен

∫ b

V = f2(x) dx:

Пример 7. Вычислить объем тела, полученного вращением одной арки синусоиды.

y 6

y = sin x

0					x

Ðèñ. 28

Имеем				∫				(		)
	∫			∫				(		)		2
V =	0			0		cos 2x) dx =		x	sin22x	0	=	2
V =	0	sin2 x dx =	2	0	(1	cos 2x) dx =	2	x	sin22x	0	=	2 :

6. Вычисление объема тел вращения, когда образующая задана

параметрически. Пусть образующая задана в виде

{

y = y(t);

t :

x = x(t);

Если бы она задавалась в виде y = f(x), то объем вычислялась бы

по формуле ∫ b

V = f2(x) dx:

Сделаем в этом интеграле замену x = x(t). Тогда

∫

V = f2(x(t)) dx(t):

Òàê êàê f(x(t)) = y(t), то получаем формулу

∫

V = y2(t)x′(t) dt:

Лекция 2 марта 2021 г.

7. Вычисление длины дуги кривой. Пусть кривая задана функцией y = f(x) на отрезке [a; b]. Разобьем отрезок [a; b] íà n частей

точками a = x0 < x1 < x2 : : : < xn = b. И заменим вычисление длины дуги на каждом из кусков вычислением длины хорды ∆lk.

y 6

				y = f(x)
		,			Q
	,	,			Q
%	,				QQ
%%
						-
0 a x1 x2 x3					xn 1 b		x
					Ðèñ. 29
Тогда
n			n			n	∆2yk
L ∆lk =					∆2xk + ∆2yk =	√1 +	∆2yk	∆xk:
L ∆lk =					∆2xk + ∆2yk =	√1 +	∆2xk	∆xk:
=1			k=1			=1
∑k			∑√			∑k

					∆lk ∆yk
				∆xk
				∆xk
						-
		xk 1			xk	x
					Ðèñ. 30
По теореме Лагранжа существует точка k 2 [xk							1; xk] такая, что
∆yk = f(xk) f(xk 1) = f′( k)(xk						xk 1) = f′( k)∆xk:

Следовательно,

∆2yk = f′2( k): ∆2xk

Отсюда

∑√

√

lim

∫a

f 2

dx:

= d(T )!0 k=1

1 +

′

( k)∆

k =

1 +

′

( )

Тем самым

L = ∫ab

√

1 + f′2(x) dx:

(2)

8. Вычисление длины дуги параметрически заданной кривой. Пусть кривая y = f(x) задана параметрически

y = y(t);

{x = x(t);

t :

Тогда

f′(x) =

y′(t)

x′(t)

Сделав в формуле (2) замену x = x(t), будем иметь

∫

√

√1 +

y 2(t)

L =

′

x′(t) dt =

x′2(t) + y′2(t) dt:

x′2(t)

Тем самым получена формула

L = ∫

√

x′2(t) + y′2(t) dt:

(3)

В случае пространственной кривой

y = y(t);

8x = x(t);

t ;

имеет место

<z = z(t);

аналогичная формула

L = ∫

√

x′2(t) + y′2(t) + z′2(t) dt:

Пример 8. Найти длину одной арки циклоиды

y = R(1

cos t);

{x = R(t

sin t);

0 t 2 :

y 6
'PiR	$
Pq
&%		-
0		2 R x

Ðèñ. 31

Имеем

∫0

2 √

dt = ∫0

2 √

L =

x′2(t) + y′2(t)

R2(1 cos t)2 + R2 sin2 t

= R ∫0

dt = R ∫0

2 p

2 cos t + cos2 t + sin2 t

2 cos t dt

∫

√

∫

(

)

√4 sin2

= R

dt = 2R

sin

dt = 4R

cos

= 8R:

9. Вычисление длины дуги кривой, заданной в полярной системе координат. Пусть кривая задана в полярной системе координат

= (φ); φ :

От задания кривой в полярной системе координат можно перейти

к заданию той же кривой в параметрическом виде

{

y = (φ) sin φ;

φ :

x = (φ) cos φ;

Имеем

y′(φ) = ′(φ) sin φ + (φ) cos φ; x′(φ) = ′(φ) cos φ (φ) sin φ:

Поэтому

x′2(φ) + y′2(φ) = ′2(φ) + 2(φ):

Учитывая формулу (3), получаем

∫ √

L = ′2(φ) + 2(φ) dφ:

Пример 9. Найти длину кардиоиды = a(1 + cos φ), 0 φ 2 .

Источник: https://studfile.net/preview/16464738/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Исламское государство': причины возникновения, тенденции развития, технологии противостояния