Материал: ЛК Осипенко КЮ - весна 2021 (1 сем)

26

Ðèñ. 32

9. Несобственные интегралы с бесконечными пределами

Пусть дана функция f(x), непрерывная на промежутке [a; +1).

Для любого b a существует интеграл

∫ b

f(x) dx:

a

y 6

y = f(x)

27

Если этот предел существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится. В противном случае говорят, что несобственный интеграл расходится.

Пусть функция f(x), непрерывная на промежутке ( ; a]. Тогда аналогичным образом определяется несобственный интеграл

Если функция f(x) непрерывна на всей числовой оси, то

∫ +1 ∫ c ∫ +1

f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx:

c

Нетрудно убедиться, что это определение не зависит от точки c.

10. Обобщенная формула Ньютона Лейбница

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a; +1) è F (x)

Положив

F (+1) = lim F (b);

b!+1

Аналогичные формулы имеют место и для двух других типов

29

y 6

y = f(x)

-

Ðèñ. 36

Определение 7. Несобственным интегралом называется

∫ b ∫ c

f(x) dx = lim f(x) dx:

ac!b 0 a

Если функция f(x) непрерывна на промежутке (a; b], а точка a

является особой, то несобственный интеграл определяется следующим образом ∫ b ∫ b

f(x) dx = lim f(x) dx:

ac!a+0 c

Если обе точки a è b являются особыми, то

Терминология, связанная со сходимостью, остается такой же, как для несобственных интегралов с бесконечными пределами.

12. Обобщенные формулы Ньютона Лейбница для интегралов от неограниченных функций

Пусть функция f(x) непрерывна в промежутке [a; b) и имеет в точке b особенность. Предположим, что F (x) первообразная функции f(x). Тогда

называется обобщенная формула Ньютона Лейбница

∫ b

f(x) dx = F (b 0) F (a):

a