Материал: ЛК Осипенко КЮ - весна 2021 (1 сем)

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Теперь мы можем исследовать ряд (4). Имеем

1;	n = 2k 1;
Sn = {0;	n = 2k:

Такая последовательность не имеет предела, поэтому ряд (4) является расходящимся рядом.

Займемся теперь суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Легко проверить, раскрывая скобки, что

(1 q)(1 + q + q2 + : : : + qn				1) = 1	qn:
Отсюда				1	qn
Sn = 1 + q + q2 + : : : + qn 1				1	qn
				=		:
				=		:
				1	q
Â ñèëó òîãî, ÷òî
lim qn = 0
n!1
при любом q таком, что jqj < 1, получаем
lim Sn =	1		:
lim Sn =	1		:
n!1	1	q

Рассмотрим ряд

1 + 12 + 13 + 14 + 15 + : : : + n1 + : : : :

Этот ряд называется гармоническим рядом. Докажем, что он расходится. Рассмотрим его частичные суммы. Имеем

																S1 = 1;
																			1									3
												S2 = 1 +											=						;
												S2 = 1 +									2		=					2	;
													1				1		3									1				1
			S4 = S2 +												+				>						+					+					= 2;
			S4 = S2 +										3		+		4		>			2			+			4		+		4			= 2;
			1					1					1				1											1				1				1			1				5
S8 = S4 +						+					+				+				> 2 +											+				+			+				=			;
S8 = S4 +					5	+			6		+		7		+		8		> 2 +									8		+		8		+		8	+		8		=		2	;
S16 = S8 +	1	+	1			+		1				+			1		+		1				+				1			+		1			+		1

	9		10					11						12					13							14						15					16
	>		5	+			1			+			1		+			1		+				1				+			1		+			1		+		1		+		1	= 3:
	>		2	+						+		16			+					+			16					+					+					+	16			+		16	= 3:
			2			16						16					16						16							16						16			16					16

Продолжая эти оценки, получим, что

k S2k > 1 + 2 :

Отсюда следует, что

lim Sn = 1;

n!1

т.е. ряд расходится.

Лекция 9 марта 2021 г.

18. Свойства сходящихся рядов

Пусть дан ряд

∑1

an: (5)

n=1

Если отбросить первые его k членов, то получится ряд

ak+1 + ak+2 + : : : + ak+n + : : : ;

называемый остатком ряда (после k-го члена).

1. Если сходится ряд, то сходится любой его остаток. Если сходится какой-то остаток ряда, то сходится и сам ряд.

Доказательство. Пусть исходный ряд сходится. Это значит, что существует предел его частичных сумм

S = lim Sn:

n!1

Рассмотрим частичные суммы остатка

Sn′ = ak+1 + ak+2 + : : : + ak+n = Sk+n Sk:

Тогда

lim Sn′	= lim (Sk+n	Sk) = S Sk:		(6)
n!1	n!1
Следовательно остаток сходится.
Пусть сходится остаток. Тогда
	S′ = lim S′		:
Ïðè n > k имеем	n!1	n
Ïðè n > k имеем
	Sn = Sk + Sn′		k:
Отсюда
	lim Sn = Sk + S′:
	n!1
Следовательно ряд сходится.

Следствие 1. Отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда на сходимость не влияет.

Из (6) вытекает

Следствие 2. Сумма остатка после k-го члена стремится к 0 при k ! 1.

2. Если сходится ряд (5), то сходится и ряд

∑1

Can;

n=1

а его сумма равна произведению числа C на сумму исходного ряда.

Доказательство. Положим

∑n

Sn′ = Can:

k=1

Тогда		∑k
		∑k
		n
S′ = lim Sn′	= C lim	an	= C lim Sn = CS:
n!1	n!1	=1	n!1

3. Если сходятся ряды		∑
	∑	∑
	1	1
	an;		bn;		(7)
	n=1	n=1
то сходится и ряд	1
	1
	∑(an + bn);
	n=1
а его сумма равна сумме рядов (7).
Доказательство. Положим
An = a1 +: : :+an; Bn = b1 +: : :+bn;			A = lim An;		B = lim Bn:
Тогда			n!1		n!1
Тогда
n
C = lim (an + bn) = lim (An		+ Bn) = lim An + lim Bn = A + B:
n!1	n!1		n!1	n!1

∑

k=1

19. Необходимый признак сходимости

Теорема 9 (необходимый признак сходимости). Åñëè ðÿä

∑1

n=1

сходится, то

lim an = 0:

n!1

Доказательство. Положим

	Sn = a1 + : : : + an;		S = lim Sn:
Тогда			n!1
Тогда
		an = Sn	Sn 1:
Отсюда
lim an = lim an = lim (Sn			Sn 1) = S S = 0:
n!1	n!1	n!1

Теорема 10

в котором an

Необходимый признак сходимости применяется следующим образом: исследуют предел общего члена ряда, и если оказывается, что он не равен нулю, то ряд расходится. Но если он равен нулю, то ничего сказать о сходимости нельзя, надо применять другие признаки. Один из примеров, когда предел общего члена ряда равен нулю, а ряд расходится гармонический ряд, расходимость которого была доказана.

Пример 13. Исследовать на сходимость ряд

∑
1		cos	1	:
n=1		cos	n	:
			n

Имеем	1
lim cos	1	= cos 0 = 1:
lim cos	n	= cos 0 = 1:
n!1	n

Ряд расходится по необходимому признаку.

20. Ряды с положительными членами. Критерий сходимости рядов с положительными членами

Ряд с положительными членами это ряд

∑1

an;

(8)

n=1

0 äëÿ âñåõ n = 1; 2; : : :.

(критерий сходимости рядов с положительными членами). Для сходимости ряда (8) с положительными членами необходимо и достаточно, чтобы существовала постоянная M

такая, что частичные суммы этого ряда удовлетворяют условию Sn M äëÿ âñåõ n = 1; 2; : : :.

Доказательство. Необходимость. Пусть ряд (8) сходится. Тогда по определению существует предел последовательности частичных ñóìì Sn. Если предел последовательности существует, то она ограничена.

Достаточность. Пусть последовательность частичных сумм Sn

ограничена сверху. В силу того, что рассматриваемый ряд с положительными членами, последовательность частичных сумм мо- нотонно возрастает Sn+1 Sn. По теореме Вейрштрасса монотон-

но возрастающая последовательность, ограниченная сверху, имеет
предел. Следовательно, ряд сходится.
21. Признак сравнения
Теорема 11 (признак сравнения). Пусть
1	1
∑	∑
an;	bn
n=1	n=1

ряды с положительными членами и

			an bn;	n = 1; 2; : : : :
Тогда		∑n=1 an расходится, то и			∑		n=1 bn расходится.
2)
1)	åñëè ðÿä	∑	n1=1 bn сходится, то и ряд			n1=1 an сходится;
	åñëè ðÿä		1		ðÿä	∑	1

Доказательство. 1. Если ряд ∑1n=1 bn сходится, то по критерию сходимости найдется M, для которого

Bn = b1 + : : : + bn M

äëÿ âñåõ n = 1; 2; : : :. Тогда

	An = a1 + : : : + an b1 + : : : + bn = Bn M:					∑n=1
сходится.						∑n=1			n
Снова применяя критерий сходимости, получаем, что ряд							1	a
	∑		n=1	должен		∑
2. Пусть ряд n1=1 an расходится. Предположим, что ряд							n1=1 bn
ся. Полученное противоречие доказывает,		∑	1 an		n=1	n
сходится. Тогда по доказанному выше ряд			1 an	∑	1 b	сходит-
дится.		÷òî ðÿä		∑
		÷òî ðÿä					расхо-

Следствие 3. Утверждение теоремы 11 остается справедливым при выполнении неравенств

an Cbn;

(9)

ãäå C > 0, à n = N; N + 1; : : :.

Доказательство. Из свойств сходящихся рядов следует, что отбрасывание или добавление любого конечного числа слагаемых не влияет на сходимость. Поэтому можно считать, что неравенства (9) выполняются, начиная с первого члена. Из тех же свойств сходящихся

рядов следует, что умножение на любую постоянную, отличную от

нуля, тоже на сходимость не влияет.

Пример 14. Исследовать на сходимость ряд

∑

n=1

n + 2p

Нетрудно убедиться, что

n + 2p

∑

Ðÿä

гармонический ряд, он расходится. По следствию 3

n=1

исследуемый ряд расходится.

Источник: https://studfile.net/preview/16464738/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Исламское государство': причины возникновения, тенденции развития, технологии противостояния