Материал: ЛК Осипенко КЮ - весна 2021 (1 сем)

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

13. Свойства несобственных интегралов

Будем рассматривать несобственные интегралы вида

∫ +1

f(x) dx:

Для остальных несобственных интегралов все рассмотренные свой-

ства сохраняются.		+1 f(x) dx äëÿ âñåõ
1. Åñëè	+1 f(x) dx сходится, то сходится	+1 f(x) dx äëÿ âñåõ
a1 > a.	∫a	∫a1

Доказательство. По обобщенной формуле Ньютона Лейбница

∫ +1

f(x) dx = F (+1) F (a):

Сходимость этого интеграла означает существование F (+1) = limx!+1 F (x). Следовательно,

			+
		∫a1 1 f(x) dx = F (+1) F (a1):
2. Åñëè	∫a	f(x)	+1		+1
2. Åñëè	∫a	f(x)	+1		+1	2 R
	+1	∫	dx сходится, то для всех C
		∫		∫

	Cf(x) dx = C		f(x) dx:
a			a	∫a
существование F (+1). Тогда				∫a
Доказательство. Из	сходимости интеграла			+1 f(x) dx
∫		+			∫
a+1 Cf(x) dx = CF (x) a 1= C(F (+1) F (a)) = C					a+1

следует

f(x) dx:

3. Åñëè +1		∫a	+1	∫a
						+1
	сходятся интегралы	+1 f(x) dx è			+1 g(x) dx, òî
∫a	(f(x) + g(x)) dx =	∫a		f(x) dx +	∫a	g(x) dx:

Доказательство. Пусть F (x) è G(x) первообразные f(x) è g(x).

∫

Из сходимости интегралов

+1 f(x) dx è

+1 g(x) dx следует су-

ществование

F (+ ) è

G(+

). Тогда

по обобщенной

формуле

Ньютона Лейбница

a+1(f(x) + g(x)) dx = (F (x) + G(x)) a 1

∫

f(x) dx +

g(x) dx:

= F (x) a

+G(x) a

14. Критерий сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций

Пусть f(x) непрерывна на промежутке [a; +1) è f(x) 0 ïðè x 2 [a; +1).

Теорема 6 (критерий сходимости несобственных интегралов от

неотрицательных∫ функций). Для сходимости несобственного ин- теграла a+1 f(x) dx необходимо и достаточно, чтобы существо-

вала постоянная M такая, что

∫ b

f(x) dx M

äëÿ âñåõ b > a.

Доказательство. Необходимость. Пусть сходится интеграл

∫ +1

f(x) dx:

Тогда для первообразной F (x) функции f(x) существует

lim F (x) = F (+1):

x!+1

Отсюда следует, что функция F (x) ограничена, т.е. существует постоянная C такая, что F (x) C. Таким образом,

∫ b

f(x) dx = F (b) F (a) C F (a) = M:

Достаточность. Пусть для всех b > a

∫ b

f(x) dx M:

Тогда F (b) F (a) M. Отсюда вытекает, что функция F (x) ограничена сверху. Кроме того, F ′(x) = f(x) 0. Следовательно, F (x) монотонно возрастающая функция. По теореме Вейерштрасса монотонно возрастающая функция, ограниченная свер-

ху, имеет предел		F (+1)	. Отсюда вытекает сходимость интеграла
+	1 f(x) dx.
∫a

15. Признак сравнения сходимости несобственных интегралов

Теорема 7 (признак сравнения). Пусть f(x) è g(x) непрерывны

íà

[a; +1)

0 f(x) g(x)

. Тогда

∫

1 g(x) dx

åñëè

∫a

1 f(x) dx расходится, то

∫

1 g(x) dx сходится, то сходится и

1 f(x) dx;

åñëè

расходится и

y 6

g(x)

f(x)

Ðèñ. 38

Доказательство. Заметим, что достаточно доказать только утверждение 1), так как, предположив в 2) противное, сразу приходим

к противоречию с утверждением 1).

Пусть ∫ +1 g(x) dx сходится. Тогда по критерию сходимости

несобственных интегралов от неотрицательных функций получа- ем, что существует постоянная M, для которой

∫ b

g(x) dx M

äëÿ âñåõ b > a. Следовательно,

∫ab f(x) dx ∫ab g(x) dx M:

Отсюда в силу того же критерия следует, что

∫a

1 f(x) dx

сходится.

Пример 11. Исследовать на сходимость интеграл

∫1

x + 7

x3 + 17

Будем применять признак сравнения. Имеем

x11=10

x + 7

x3 + 17

Поскольку 11=10 > 1, то интеграл

∫1

x11=10

сходится. Следовательно, исходный интеграл тоже сходится.

16. Абсолютная сходимость несобственных интегралов

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a; +1).

абсолютно, если сходится интеграл ∫a+1 jf(∫x)j dx.
Определение 8. Говорят, что интеграл	+1 f(x) dx сходится
	a

34	a+1 f(x) dx.		∫a	j		j
и интеграл	a+1 f(x) dx.		∫a	j		j
Теорема 8.	Если сходится интеграл		+1		f(x)		dx, то сходится
∫		В силу легко проверяемых соотношений
Доказательство.

0 c + jcj 2jcj

имеем

0 f(x) + jf(x)j 2jf(x)j:

По признаку сравнения

∫ +1

(f(x) + jf(x)j) dx

сходится. Значит, сходится и разность двух сходящихся интегралов
∫a+1(f(x) + jf(x)j) dx	∫a+1 jf(x)j dx = ∫a+1 f(x) dx:

Из доказанной теоремы вытекает, что возможны лишь следующие три∫ случая: ∫

1.+1 f(x) dx сходится и +1 jf(x)j dx сходится.

2.∫a+1 f(x) dx сходится, а ∫a+1 jf(x)j dx расходится.

3.∫a+1 f(x) dx расходится иa∫ +1 jf(x)j dx расходится.

a a

В первом случае, как было сказано, говорят, что интеграл сходится абсолютно. Во-втором случае говорят, что интеграл сходится условно. В третьем случае говорят, что интеграл расходится.

Пример 12. Исследовать на сходимость интеграл

∫1	+1 sin x	dx:
	x2

Рассмотрим интеграл

∫ +1 j sin xj dx:

1x2

Имеем	j sin xj	1		:
	j sin xj	1		:

	x2		x2

В силу того, что показатель степени у x больше 1,

+1 1
∫1 x2	dx

сходится. По признаку сравнения сходится и

∫ +1 j sin xj dx:

1x2

Таким образом, исходный интеграл сходится абсолютно.

17.Числовые ряды

Âэтом разделе мы будем изучать суммы, состоящие из бесконечного числа слагаемых. Из школьной программы известна сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

1 + q + q2 + : : : + qn + : : : = 1 1 q ; jqj < 1:

Сначала нам надо дать четкие определения, связанные с тем, что мы будем понимать под суммами такого рода. Иначе может возникнуть некоторое непонимание, которое, например, возникает, когда мы хотим найти такую сумму

1 1 + 1 1 + 1 1 + : : : :

(4)

Кто-то может сказать, что здесь совершенно ясно, что в сумме будет 0. Ведь первое и второе слагаемые дают 0, а дальше третье и

четвертое в сумме снова 0 и так далее. Но другой может возразить

èсказать, что к единице прибавляют второе и третье слагаемые, что снова дает 1, а к ней прибавляют четвертое и пятое слагаемые

èснова получается единица. Так 0 или 1?

Начнем с определений.

Определение 9. Числовым рядом называется символ

	∑
	1
a1 + a2 + : : : + an + : : : èëè	an:
	n=1

Таким образом, числовой ряд это просто символ (не число!). А как же сумма? Потерпите чуть-чуть.

Определение 10. Частичной суммой числового ряда

∑1

n=1

называется

Sn = a1 + a2 + : : : + an:

Определение 11. Суммой числового ряда

∑1

n=1

называется число

S = lim Sn;

n!1

если этот предел существует, и в этом случае ряд называется сходящимся. В противном случае говорят, что ряд расходится.

Источник: https://studfile.net/preview/16464738/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Исламское государство': причины возникновения, тенденции развития, технологии противостояния