Статья: Математическая модель геополитики

Математическая модель геополитики

Плохотников Константин Эдуардович

доктор физико-математических наук

ведущий научный сотрудник, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, профессор, Финансовый университет при Правительстве РФ

Аннотация

Математическая модель геополитики условное название для нескольких моделей, которые естественным образом связаны и выступают в качестве сопровождения главной тематики -- геополитики. Вводится центральное понятие математической модели геополитики -- емкость среды обитания. Геополитика -- это климат, рельеф, особенности логистики глобальных товарных потоков, геополитическое противостояние в терминах “море - континент”, т.е. все то, что составляет материальный комплекс условий существования жителей Земли. Данный комплекс, в значительной степени, опосредует поведение народонаселения с политической точки зрения. Автор не придерживается позиции природного детерминизма, который выступает в форме геополитики, но пытается очертить рамки проявления геополитики в реальной политике. Во всех построенных в работе математических моделях производится переход к вычислительному эксперименту, результаты которого приводятся и обсуждаются. Базой вычислительного эксперимента выступают данные по климату, рельефу, народонаселению, а также ряд других компонентов, характерных для современных геоинформационных систем. Математика предложенных моделей, предполагает знание основ: численных методов, статистики, методов оптимизации и ряд других дисциплин. Произведена развертка плотности емкости среды обитания по государствам. Среди рекордсменов в убывающей последовательности ожидаемо оказались: Россия, США, Бразилия, Китай, Австралия и т.д. Определен и изучен показатель, имеющий смыл удельной емкости среды обитания в расчете на душу населения. Произведено ранжирование стран и территорий по этому показателю. Особое внимание обращено на соотношение данных показателей отдельных стран по отношению к РФ. Изучен вопрос о взаимоотношении плотности емкости среды обитания и рельефа. Строятся и сравниваются территории, где сосредоточено 50% народонаселения и 50% емкости среды обитания. Строятся поля градиента плотности емкости среды обитания. Производится классификация стран и территорий в терминах “высоко - невысоко” и “благоприятно - неблагоприятно”, т.е. в четырех категориях, учитывающих рельеф и плотность емкости среды обитания. Строятся карты территорий всех четырех типов. Вводится и подсчитывается индекс разнообразия отдельных территорий и государств. В рамках калькуляции глобального трафика построен специальный показатель под названием процентное соотношение “море - континент”. На основе данного показателя производится классификация точек (территорий) в геополитических терминах. Этот показатель позволил формализовать введение таких хорошо известных в геополитике понятий, как “Хартленд” и “Римленд”. Построены комбинированные глобальная и региональные карты, содержащие политическую и геополитическую разметки. Произведен анализ данных карт на предмет наличия так называемых геополитических “разломов”. О наличии разломов можно говорить в том случае, если некоторые геополитические линии проходят не по границе отдельного государства, а по его территории, глубоко в нее вклиниваясь. Приведено численное решение задачи оптимального с точки зрения минимума затрат на транспорт распределения точек, выступающих в качестве логистических узлов на поверхности Земли.

Ключевые слова: емкость среды обитания, плотность народонаселения, минимаксная транспортная доктрина, рельеф, корреляционный анализ, метод Монте-Карло, индекс разнообразия территорий, нарезка территорий, геополитическая классификация точек, нелинейная оптимизация

матрица расстояние транспортный плотность

Abstract

Mathematical model of geopolitics is a conditional name of several models, which are naturally connected with and serve as companions to the main theme - geopolitics. The author introduces the central notion of a mathematical model of geopolitics - capacity of a habitat. Geopolitics includes climate, terrain, peculiarities of logistics of global flows of commodities, and geopolitical confrontation in terms of “sea - continent”, i.e. all those things composing the material set of conditions of existence of the population of the world. This set to a significant extent mediates political behavior of people. The author doesn't adhere to the position of environmental determinism in the form of geopolitics, but tries to outline manifestations of geopolitics in the real politics. In all the demonstrated mathematical models, the author refers to a computational experiment, the results of which are presented and discussed in the text. The computational experiment is based on the data about climate, terrain, population and other components typical for modern geo-information systems. The mathematics of these models implies knowing the fundamentals: numerical methods, statistics, methods of optimization and some other disciplines. The author describes the density of habitat capacity in different countries. Par for the course, the top positions are taken by, in decreasing order, Russia, the USA, Brazil, China, Australia. The author defines and studies the index of specific capacity of habitat per capita, ranks countries and territories according to this index. Special attention is given to the correlation between these indexes in particular countries compared to Russia. The author studies the issue of interaction between the density of habitat capacity and terrain, compares territories concentrating 50% of the population and 50% of density of habitat capacity, and outlines the density gradient margins. The author classifies countries and territories in terms of “high - low” and “favourable - unfavourable”, i.e. in four categories taking account of terrain and density of habitat capacity. The paper contains the maps of territories of all four types. The author introduces and calculates the diversity index of particular territories and countries. Within the global traffic calculation, the author creates a specific index of percentage “sea - continent”. Based on this index, the author classifies points (territories) in geopolitical terms. This index helps formalize such well-known geopolitical notions as “Heartland” and “Rimland”. The author composes combined global and regional maps with political and geopolitical marking. These maps are analyzed for so-called geopolitical splits. Such splits are detected when some geopolitical lines don't coincide with the state border, but lay deeply across its territory. The author demonstrates the numerical solution of the problem of optimal distribution of points (in terms of minimal transportation expenses) serving as logistics hubs on the planet.

Keywords: cutting of territories, territories diversity index, Monte Carlo method, correlation analysis, terrain, minimax transport doctrine, density of population, capacity of habitat, geopolitical classification of points, non-linear optimization

Введение

В ряде работ автора [1 - 3] сформулирована “Нормативная модель глобальной истории”. В основе данной модели лежит представление глобальной политической целостности в виде набора атомарных субъединиц, названных геопатомами (ГЕОПолитические АТОМы). Представляется, что текущее политическое строение территорий проживания людей на Земле, в значительной степени, может быть объяснено путем объединения специально приготовленных более мелких территорий -- геопатомов. В связи с данной гипотезой возникает задача построения набора геопатомов, покрывающих всю территорию Земли.

Для адекватной нарезки территории Земли на отдельные геопатомы необходимо учесть климатические особенности территорий, а также рельеф. Кроме того, необходимо также учесть глобальный трафик, который заметно меняет конфигурацию расположения и форму геопатомов.

Для учета климатических особенностей проживания на тех или иных территориях будет сформулировано понятие “емкость среды обитания”. Будет построена подходящая функция плотности емкости среды обитания, которая включит в себя весь комплекс антропоморфных требований к среде обитания в части климата. Территории проживания людей будут классифицированы в терминах “(не)высоко - (не)благоприятно”, т.е. с учетом высоты над уровнем моря и климатических особенностей.

В части моделирования глобального трафика особенно остро проявится центральное геополитическое противостояние между “морем” и “континентом”, о чем предупреждали классики геополитики. Формулировка алгоритма и подсчет с его помощью глобальных транспортных потоков позволит уточнить и обобщить классификацию всех территорий в общепринятых геополитических категориях.

Емкость среды обитания

Построим математическую модель того, что называют по-разному в разных дисциплинах: емкость среды обитания, жизненное пространство и пр. Нас будет интересовать построение меры объема среды обитания путем учета различного рода наиболее важных природных составляющих, сопровождающих жизнь людей. К таким составляющим отнесем, прежде всего, среднегодовые значения температуры и осадков на поверхности Земли.

Пространственную развертку в модели свяжем с координатами широты,и долготы,поверхности Земли, считая, что,-- в радианах или,-- в градусах. Для подбора подходящей формулы связи плотности емкости среды обитания,с среднегодовой температуройи осадкамипривлечем реальные данные, имеющиеся для всей поверхности Земли.

Введем комфортные с точки зрения проживания людей значения температуры,и осадков,согласно средневзвешенной процедуре, выбирая в качестве веса плотность проживания людей на поверхности Земли,. В этом случае можно записать следующую общую формулу для подс--четаи:

, (1)

где,,-- соответствующие функции широты и долготы; интегрирование в (1) предполагается по всему глобусу без учета водной поверхности.

Выберем разрешение по пространству вградусов и рассмотрим конкретные данные для среднегодовых значений температуры, осадков и плотности населения. В этом случае данные предстанут в виде матриц размером, где 360 обозначает количество узлов равномерной сетки по широте, а 720 -- по долготе. Сетки по широте и долготе в радианах можно представить в виде: ;.

Загрузим данные по среднегодовым значениям температуры и осадков с сайта[4]. Выберем версию архива 2.02, которая датирована июлем 2001 года. Описание к данным архива приведено на сайте[5]. Данные по плотности населения Земли возьмем с сайта NASA Earth Observations[6]. Заменим интегрирование в (1) суммированием по нашей сетке, тогда

, (2)

где суммирование в (2) осуществляется по тем узлам сетки, которые не принадлежат водной поверхности.

По формуле (2) был проведен расчет с данными из архива 2.02 и данными NASA по плотности населения, оказалось, что;.

Были подсчитаны также средневзвешенные стандартные отклонения от комфортных значений, они оказались равнымиисоответственно для температуры и осадков. Столь заметные стандартные отклонения означают, что предполагаемая зависимость емкости средыrот отклонений от комфортных значений в форме степенных выражений типаидолжна иметь малые по сравнению с единицей значения степенейи.

После ввода комфортных значений температуры и осадков, выберем для дальнейшего анализа следующую формулу для описания плотности емкости среды обитания:

, (3)

где-- пока неопределенные константы.

В представлении (3) сосредоточен весь набор требований к функции. Функция, описывающая емкость среды,должна быть неотрицательной, зависеть от отклонений от комфортных значений, легко модифицируемой в случае учета дополнительного параметра, описывающего емкость среды.

Неопределенные параметры, входящие в (3) найдем путем минимизации суммы квадратов отклонений обратной функции емкости среды,от обратной функций плотности народонаселения,. Выяснилось, что именно в этом случае обеспечивается максимум корреляции величины обратной функции емкости среды и обратной величины плотности населения,. Величинаимеет ясный географический смысл -- это количество квадратных километров, приходящихся на одного человека в данном регионе, еслиизмеряется в количестве людей на квадратный километр.

С учетом (1) запишем функционал,Dминимум которого обеспечивает поиск параметровпри фиксированных значениях:

, (4)

где интегрирование предполагается по всей суше, без учета водной поверхности.

Учитывая (2), перепишем функционал (4) в конечно-разностном виде, исходя, как и выше, из разрешения в. В этом случае, с точностью до численного коэффициента, получим

, (5)

где;;-- количество узлов сетки на поверхности суши, а суммирование распространяется лишь на те узлы сетки, которые приходятся на сушу.

Для поиска минимума функционала в форме (5) решалась задача градиентного спуска

,, (6)

где-- некоторый условный аргумент, при этом

,

,

.

Система дифференциальных уравнений (6) может быть решена с помощью одного из стандартных решателей, например, пакета MATLAB. Решение проводилось вплоть до установления значений, т.е. когда можно отчетливо идентифицировать наличие пределов значенийпри.

В таблице №1 приведен перечень значений параметров, входящих в формулу (3) для емкости среды, полученный с учетом решения задач (2), (5), (6). Кроме того, в таблице №1 приведены соответствующие значения коэффициента корреляции, Corr, который устанавливает связь между наборамии,i= 1,…,360;j= 1,…,720. С учетом особенностей геометрии на сфере, корреляция подсчитывалась по формуле:

, (7)

Где .

Таблица №1. Перечень значений параметров, входящих в формулу емкости среды обитания

Рис.1. Динамика зависимости модуля градиентаG(левый график) и значения функционалаD(правый график) от аргументаt

На рис.1 приведены типичные образцы зависимости модуля градиентаи значения функционала (5),Dот аргументаt. Графики рис.1 демонстрируют очевидную сходимость модуля градиентаGк нулю (левый график), а значение функционалаDк некоторому предельному, минимальному значению (правый график). Это означает, что набор параметровсходится к своим предельным значениям при. Остальные значения параметров выбирались согласно пункту №5 таблицы №1, когда имело место максимальное значение корреляции.

Отрицательные значения знаков параметровв таблице №1 отвечают нашим ожиданиям. Варьированию подвергались значения параметрови. Оказалось, что максимальное значение корреляции без учета более мелких вариаций находится в окрестности значений степенейи. Отметим, что если в формуле для емкости среды (3) не учитывать осадки (), коэффициент корреляции при значении параметров из пункта №5 таблицы №1 составит значение 0,6341. Полученное значение несколько меньше числа 0,6611, т.е. компонента осадков дает свой вклад. Наконец, в случае отсутствия температуры в формуле (3) () значение корреляции составило 0,5587, что заметно меньше значения 0,6611. Данные замечания означают, что совместное использование показателей температуры и осадков повышает корреляцию значений обратной функции емкости среды обитания и обратной функции плотности народонаселения. Таким образом, можно сделать вывод о том, что приблизительно две трети корреляции между обратной функцией емкости среды обитания, вычисляемой по формуле (3) и функцией обратной плотности народонаселения приходится на среду обитания в части температуры и осадков.