Как мы уже убедились, первая гипотеза очень слаба: гравитационной постоянной силы, для всех случаев гравитационных взаимодействий, не существует. Есть гравитационная функция. Но в отдельных случаях (как, например, для случая взаимодействия планет с Солнцем) эта функция сохраняет постоянное значение. Именно для этого случая были установлены законы Кеплера, хорошо согласующиеся с гипотезой обратных квадратов, для ускорений взаимодействующих тел.
5.3 3-й закон Кеплера и гипотеза обратных квадратов для ускорений
Рассмотрим две планеты с массами и , обращающиеся вокруг Солнца (массой М) по круговым орбитам, с радиусами и , соответственно.
Длина орбиты, радиуса , будет равна:
Период обращения первой планеты найдётся из выражения:
; (54) Где, - окружная скорость первой планеты.
Возведём в квадрат обе части этого выражения, получим:
;(55)
- определится из выражения центростремительного ускорения, для тела движущегося по окружности:
;(56) Откуда,;(57)
Подставляя (57) в (55), получим:
;(58)Подставляя значение из формулы обратных квадратов (52), получим:
;(59)
Для планеты , обращающейся по радиусу , можно, по аналогии, записать:
;(60)
Разделив почленно выражения (59) и (60) получим формулу 3-го закона Кеплера.
;(61)
Таким образом, третий закон Кеплера (61) строго выводится из выражения (52), т.е. из формулы обратных квадратов для ускорения: а = ;Силы здесь ни при чём.
Ньютон, как известно, уточнил 3-й закон Кеплера; проделаем и мы эту процедуру.
Для чего, посмотрим ещё раз на закон всемирного тяготения (1)
;(1)
Тело М сообщает телу m абсолютное ускорение: = ;(62)
Тело m сообщает телу М абсолютное ускорение: =;(63)
Суммарное, то есть относительное, ускорение тел m и М, будет равно:
=+;или, после подстановки значений из (62) и (63), получим:
= ;(64)Это выражение можно назвать законом всемирного ускорения.
Подставляя значения относительных ускорений по формуле (64), для масс и в формулу (58), получим:
;(65)
; (66)
Умножив обе части уравнений (65) и (66) на (M+m) и (М+m), соответственно, и разделив почленно выражения (65) и (66), получим третий, уточнённый, закон Кеплера:
; (67)
Как видно, третий, уточнённый, закон Кеплера строго выводится из формулы обратных квадратов относительного ускорения масс (64). Силы опять остаются в стороне.
Ньютон ограничился уточнением третьего закона Кеплера, но, пользуясь формулой (64), можно уточнить и закон всемирного тяготения Ньютона.
Помножим обе части выражения величины относительного ускорения (см.формулу 64) на массу m, получим уточнённый закон всемирного тяготения Ньютона
; (68)
Ньютон этого не сделал. Возможно, он не хотел создавать прецедент к изменению своих формул.
Следует заметить, что это последнее уточнение не «спасает» гипотезу всемирного тяготения Ньютона, - не делает её законом.
Итак, формуле обратных квадратов для абсолютного ускорения (52) - соответствует формула 3-го закона Кеплера (61)
а =; (52); (61)
а формуле обратных квадратов для относительного ускорения действующих масс (закону всемирного ускорения, 64) - соответствует формула уточнённого 3-го закона Кеплера (67)
=; (64); (67)
Следует обратить внимание на то, что мы рассмотрели круговые орбиты планет. Поэтому, на основании проведённых выкладок, можно утверждать о соответствии формул обратных квадратов для ускорений (52 и 64) формулам 3-го закона Кеплера (61 и 67) только для круговых орбит.
Для эллиптических орбит, с малыми эксцетриситетами, следует ожидать лишь примерного соответствия, выше указанных формул.
Для эллиптических орбит с большими и, существенно различающимися, эксцентриситетами, следует ожидать существенного не соответствия между указанными формулами.
По поводу двух последних утверждений, я предвижу возражения, так как в учебной, справочной и научно-популярной литературе (см. Л 8, Л 9, Л 10) публикуются математические доказательства соответствия Закона всемирного тяготения и 3-го закона Кеплера. Причём, сами эти математические выкладки безошибочны и проведены именно для эллиптических орбит. Но основание, на которое опираются эти математические доказательства, не надёжно.
В основу доказательства положены выражения 1-го и 2-го законов Кеплера и Закона сохранения механической энергии небесного тела, при его движении по эллиптической орбите.
К формуле эллипса (1-му закону Кеплера) и к формуле выражающей постоянство секторальной скорости планеты (2-му закону) - вопросов нет. Нет вопросов и к существу Закона сохранения энергии, но математическая запись закона сохранения выполнена не корректно:
Кинетическая энергия планеты записана формулой , - формулой, безусловно, правильной на поверхности Земли, но не проверенной опытным путём в орбитальном пространстве планеты, где параметры гравитационного поля существенно отличаются от тех, что имеют место на поверхности Земли, см. также Л 2.
Формула потенциальной энергии получена из Закона всемирного тяготения, который также справедлив только на поверхности Земли и в других условиях не проверен.
С большой степенью вероятности можно утверждать, что в условиях планетной орбиты и формула кинетической энергии, и формула потенциальной энергии будут отличаться от общепринятых.
А, значит, и доказать строгую взаимосвязь Закона обратных квадратов для ускорения и 3-го закона Кеплера, для эллиптических орбит, - невозможно. О связи между Законом обратных квадратов для силы и 3-м законом Кеплера не приходится и говорить.
На этом возможности математики исчерпываются. Даже для круговых орбит невозможно, чисто математическими методами, доказать выполнимость (соответствие действительности) формул: обратных квадратов для ускорений и 3-го закона Кеплера. Сделать это могут только опыты (измерения параметров орбит планет и пробных тел), проведённые с достаточной точностью. Опытным путём, закон обратных квадратов для ускорений, проверен методом измерения параметров орбит искусственных спутников Земли, обращающихся по орбитам, близким к круговым.
С измерениями параметров орбит небесных тел есть определённые сложности. Прежде всего, это касается определения межпланетных расстояний и определения астрономической единицы (расстояния от Земли до Солнца).
Сейчас величина астрономической единицы принята равной 149 597 870 плюс минус 2 км. Это значение, утверждённое в 1976 году Международным Астрономическим Союзом, получено на основании радиолокационных измерений и исследований движения близких больших планет и Луны, с помощью космических аппаратов.
Точность, достигнутая в определении величины Астрономической единицы (А.е.), впечатляет. Но при этом, важно обратить внимание на следующее:
Во-первых, при вычислении величины (А.е.), по замеренной величине расстояния до ближайшей планеты, неизбежно использовалась формула обратных квадратов, следовательно, полученное таким образом значение (А.е.), - нельзя использовать для проверки формулы обратных квадратов и 3-го Закона Кеплера;
Во-вторых, при радиолокационных измерениях межпланетных расстояний используется значение фундаментальной физической константы - скорости света в вакууме (299 792 458 м/с). Величина эта была получена при измерениях скорости света на поверхности Земли, при вполне определённых и постоянных параметрах гравитационного поля; при других условиях, например на высоких Земных орбитах, скорость света в вакууме не измерялась, а там она вполне может быть другой. См. Л 3.
То есть, при измерении межпланетных расстояний применён не проверенный измерительный инструмент. А это значит, что погрешность в определении астрономической единицы может быть много больше заявленной величины (+ - 2 км).
Достижения метрологии в небесной механике весьма лаконично охарактеризовал Ричард Фейнман, в своих лекциях: «межпланетные расстояния определены с точностью до астрономической единицы», см. Л 7. Это надо понимать так, что все усилия астрономов направлены на определение радиуса обращения Земли, а расстояния до других планет солнечной системы определяются по периоду их обращения, то есть, определяются с использованием закона обратных квадратов, или 3-го закона Кеплера. Другими словами, закон обратных квадратов для ускорений, в масштабе солнечной системы, проверен лишь частично (для орбит искусственных спутников Земли и для орбиты Луны) и здесь он выполняется. Насколько строго выполняется (с какой погрешностью)? Наука это не афиширует, но расхожее мнение о том, что закон обратных квадратов точнее, чем сама действительность, - косвенно подтверждает наличие расхождений между теорией и практикой.
Подводя итог рассуждений, скажем, что закон обратных квадратов для ускорений взаимодействующих тел выполняется в первом приближении - следовательно, формулы (52); (64) и (61); (67) имеют опытное обоснование. И потому, именно этим формулам мы должны отдавать предпочтение перед законом всемирного тяготения Ньютона, выраженного формулой (1)
Тот факт, что (формулы 52 и 64) закона обратных квадратов и уточнённого закона обратных квадратов, для ускорений выполняются (подтверждаются опытом) указывает на то, что гравитационная постоянная ускорения существует и величина её одинакова, как для случая ускорения Землёй пробного тела, так и для случая взаимодействия Земли с Луной.
Конфигурации гравитационных полей пробного тела и небесного тела (Луны) существенно различаются. Отсюда, можно сделать вывод, что гравитационная постоянная ускорения зависит, в основном, от параметров и конфигурации гравитационного поля большой ускоряющей массы (например, Земли). В этом и заключается существенное отличие между гравитационной постоянной ускорения и гравитационной постоянной силы. Последняя, как мы выяснили ранее, пропорциональна произведению проекций гравитационного излучения взаимодействующих тел на линию их взаимодействия.
Более точно понять различие между гравитационной постоянной силы и гравитационной постоянной ускорения поможет сравнительный анализ формул (1 и 64) законов всемирного тяготения и всемирного ускорения:
;(1)=; (64)
В формуле (1), гравитационная постоянная численно равна силе притяжения при условии, что произведение масс (М и m) равно единице и расстояние между ними также равно единице. Например, m = 0,001 , а М =1000. Очевидно, что сила притяжения, пропорциональна величине массы m, а, следовательно, и пропорциональна проекции силовых линий гравитационного поля массы m, на линию взаимодействия. В том случае, когда масса m находится вблизи поверхности большой массы М и представляет собой малую (точечную) массу, её гравитационное поле разворачивается в сторону большой массы. Проекция силовых линий на линию взаимодействия увеличивается в несколько раз, по сравнению с равномерным распределением гравитационного поля точечной массы, удалённой в бесконечность от большой массы. В такое же количество раз возрастёт и сила взаимодействия. Формула (1) деформацию гравитационного поля малой массы не учитывает, следовательно, это должно быть учтено величиной гравитационной постоянной (гравитационной функции). Очевидно, что подобные выводы мы бы получили и при анализе уточнённого закона всемирного тяготения Ньютона, выраженного формулой:
;(68)
В формуле (64) гравитационная постоянная численно равна относительному ускорению масс, при условии, что сумма масс равна единице. Например, m =0,001; М=0,999. В этом случае, увеличение проекции гравитационного поля малой массы на линию взаимодействия (пусть даже в 3 раза) не сильно изменит относительное ускорение тел. Подсчитаем это. Увеличение проекции в три раза, равноценно увеличению малой массы в 3 раза (допустим, m стало равно 0,003). Суммарная масса будет равна: 0,999+0,003 = 1,002. Следовательно, ускорение (и величина гравитационной постоянной) увеличится всего лишь на 0,2 процента. Если же отношение масс М/m , будет ещё больше, скажем, , то изменением гравитационной постоянной ускорения, вследствие деформации гравитационного поля меньшей массы, можно пренебречь и считать гравитационную постоянную ускорения, неизменной во всём этом диапазоне. Отсюда можно сделать вывод, что гравитационная постоянная ускорения не зависит от степени деформации гравитационных полей пробных тел и определяется конфигурацией гравитационного поля большой массы.
Для случая взаимодействия Земли с Луной, отношение масс составляет, порядка . Но Луна находится на значительном расстоянии от Земли и поэтому её поле практически не деформируется, под влиянием поля Земли. Луна имеет такую же (равномерную) конфигурацию гравитационного поля, как и Земля, - поэтому диапазон действия гравитационной постоянной ускорения можно расширить и на взаимодействие небесных тел, в том числе, и имеющих отношение масс: и менее. Но, последнее замечание, не относится к гравитационной постоянной силы.
Мы, наконец, подошли к разрешению довольно сложного вопроса, который с самого начала исследования не давал покоя: какая же гравитационная постоянная (силы или ускорения) была определена в опытах Кавендиша и им подобных?
При определении гравитационной постоянной с помощью крутильных весов использовались: статический, динамический и резонансный методы. В первом случае, измерялся угол закручивания нити; во втором - частота крутильных колебаний, в третьем - амплитуда крутильных колебаний. Поэтому, в первом и третьем случаях, можно считать, что измерялась гравитационная постоянная силы, а во втором случае - измерялась гравитационная постоянная ускорения. Но, поскольку, в соответствии с основным законом механики, сила пропорциональна ускорению и, в соответствии с законом всемирного тяготения, сила притяжения также пропорциональна ускорению, то гравитационная постоянная силы численно равна гравитационной постоянной ускорения. И это действительно так, но только при взаимодействии пробных тел между собой и с Землёй, вблизи поверхности Земли (на фоне сильного гравитационного поля Земли).