Материал: Математический анализ . Часть 2. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

Решение. Из уравнений циклоиды находим: Когда х пробегает отрезок параметр t пробегает отрезок Следовательно, искомая длина дуги равна

З а м е ч а н и е 2. Для вычисления длины дуги в случае, когда кривая AB задана в полярных координатах уравнением где имеет непрерывную производную на отрезке , и точкам A и B соответствуют значения , равные и , нужно перейти от полярных координат к прямоугольным. Тогда получим параметрическое задание кривой AB уравнениями . Так как то формула (3.13) принимает вид

(3.14)

Пример 7. Вычислить длину первого витка спирали Архимеда: (см. рис. 11).

Решение. Первый виток спирали образуется при изменении полярного угла от 0 до . Поэтому по формуле (3.14) искомая длина дуги равна

4. Объем тела вращения. Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрезке . Тогда тело, которое образуется вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , (рис. 15) имеет объем

(3.15)

Рис. 15 Рис. 16

Пример 8. Вычислить объем тора. Тором называется тело, получающееся при вращении круга радиуса a вокруг оси, лежащей в его плоскости на расстоянии b от центра круга . Форму тора имеет, например, баранка.

Решение. Пусть круг вращается оси Ох (рис. 16). Объем тора можно представить как разность объемов тел, полученных от вращения криволинейных трапеций ABCDE и ABLDE вокруг оси Ох.

Уравнение окружности LBCD имеет вид причем уравнение кривой BCD а уравнение кривой BLD

Используя формулу (3.15), получаем для объема тора выражение

5. Площадь поверхности вращения. Пусть функция неотрицательна и непрерывна вместе со своей первой производной на отрезке . Тогда поверхность, образованная вращением графика этой функции вокруг оси Ох, имеет площадь Р, которая может быть вычислена по формуле

(3.16)

З а м е ч а н и е. Если поверхность получается вращением вокруг оси Ох кривой АВ, заданной параметрически уравнениями причем изменяется от a до b при изменении t от до , то производя в интеграле (3.16) замену переменной получаем

(3.17)

Наконец, если кривая задана уравнением в полярных координатах: где имеет непрерывную производную на , то этот случай, как уже отмечалось в п. 3, сводится к параметрическому заданию кривой и формула (3.17) принимает вид

Пример 9. Вычислить площадь P поверхности шарового пояса, образованного вращением полуокружности вокруг оси Ох.

Решение. По формуле (3.16) получаем

где h – высота пояса.

Пример 10. Вычислить площадь поверхности, полученной вращением одной арки циклоиды вокруг оси Ох.

Решение. По формуле (3.17) имеем

6 . Работа переменной силы. Из рассмотренных выше задач, связанных с геометрическим приложением определенного интеграла, следует, что для их решения применяется один и тот же вычислительный метод: приближенное значение искомой величины представляется в виде интегральной суммы, а затем предельным переходом получается точное значение в виде интеграла. С помощью этого же метода решается целый ряд других задач механики, физики и техники. В качестве примера вычислим работу переменной силы.

Рис. 17 Рис. 18

Пусть материальная точка перемещается под действием силы F, направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину, зависящую от х. Требуется определить работу A, совершаемую силой F по перемещению материальной точки вдоль оси Ох из точки в точку ( ). Функция предполагается непрерывной на отрезке (рис. 17).

Разобьем произвольно отрезок на n частей точками Выберем на каждом частичном отрезке точку . Сила, действующая на материальную точку на отрезке , изменяется от точки к точке. Но если длина отрезка мала, то значение силы в точках отрезка мало отличается от ее значения в любой точке , так как непрерывна. Поэтому работу , совершаемую силой F на можно считать приближенно равной работе, совершаемой на том же отрезке постоянной силой , т. е.

Проводя аналогичные рассуждения для каждого отрезка разбиения, получаем приближенное значение работы A силы F на всем отрезке:

С другой стороны, сумма в правой части равенства является интегральной суммой для функции . Так как функция непрерывна на то предел этой суммы при существует и равен определенному интегралу от функции по отрезку Таким образом,

(3.18)

Пример 11. Определить работу A, необходимую для запуска тела массой m с поверхности Земли вертикально вверх на высоту h (рис. 18).

Решение. Обозначим через F силу притяжения тела Землей. Пусть - масса Земли. Согласно закону Ньютона где х - расстояние от тела до центра Земли. Полагая получаем где R – радиус Земли. При сила равна весу тела , т.е. откуда и Таким образом, по формуле (3.18) получаем

3.10. Несобственные интегралы

Вводя определенный интеграл как предел интегральных сумм, мы предполагали, что отрезок интегрирования конечный, а подынтегральная функция ограничена на этом отрезке. Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то данное выше определение определенного интеграла теряет смысл. Так, в случае бесконечного отрезка интегрирования нельзя разбить отрезок на n частей конечной длины, а в случае неограниченной функции интегральная сумма не имеет конечного предела. Однако и на эти случаи можно обобщить понятие определенного интеграла. В результате такого обобщения и появилось понятие несобственного интеграла.

1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Определение. Пусть функция определена на промежутке и интегрируема по любому отрезку , т. е. существует определенный интеграл при любом . Тогда, если существует конечный предел

(3.19)

то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают

(3.20)

Таким образом, по определению,

В этом случае говорят, что интеграл (3.20) существует или сходится. Если же предел (3.19) не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл (3.20) не существует или расходится.

Аналогично интегралу (3.20) вводится несобственный интеграл по промежутку

(3.21)

Наконец, как сумму интегралов вида (3.20) и (3.21) можно определить несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами, т. е.

(3.22)

где с – любое число, при условии существования обоих интегралов справа.

Установим геометрический смысл несобственного интеграла первого рода. Пусть Тогда определенный интеграл выражает площадь области, ограниченной сверху графиком функции , снизу – осью Ох, слева – прямой , справа – прямой . Естественно считать, что несобственный интеграл выражает конечную площадь бесконечной области, ограниченной сверху графиком функции , снизу осью Ох, слева прямой . Аналогичная интерпретация имеет место для интегралов (3.21) и (3.22).