Материал: Математический анализ . Часть 2. Бырдин А.П., Заварзин Н.В
Рассмотрим несколько примеров вычисления несобственных интегралов первого рода.
Пример 1.
т.е. данный интеграл сходится.
Пример 2.
но предел функции
sin R
при
не существует, следовательно, интеграл
расходится.
Пример
3.
интеграл
расходится, так как
Пример 4.
некоторое число.
Если
то для любого R
> 0
Если
то для любого R
> 0
Таким образом,
данный интеграл сходится при
и расходится при
Заметим, что в рассмотренных примерах
вычисление несобственного интеграла
было основано на его определении.
2. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Определение.
Пусть функция
определена
на промежутке
Точку
будем называть особой, если функция
неограничена в любой окрестности этой
точки, но ограничена на любом отрезке
,
заключенном в
(рис. 19).
Пусть на любом отрезке
функция
интегрируема, т. е. существует определенный
интеграл
при любом
таком, что
Тогда,
если существует конечный предел
(3.23)
т
о
его называют несобственным интегралом
второго рода и обозначают
(3.24)
Рис. 19
В этом случае говорят, что интеграл (3.24) существует или сходится. Если же предел (3.23) не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл (3.24) не существует или расходится.
Аналогично, если – особая точка, то несобственный интеграл определяется так:
Если функция
не ограничена в окрестности какой-нибудь
внутренней точки
то при условии существования обоих
интегралов справа по определению
полагают
Наконец, если a и b – особые точки, то если оба интеграла справа существуют, несобственный интеграл определяется как сумма
где c
– любая точка из
.
Пример 5.
некоторое
число.
Если
то
2) Если
,
то
Таким образом,
данный интеграл сходится при
и расходится при
3. Пример использования несобственного интеграла. Вычислим вторую космическую скорость тела, т.е. начальную скорость, при которой оно способно выйти из поля притяжения Земли в межпланетное пространство.
Ранее с помощью определенного интеграла была вычислена работа, необходимая для запуска тела массой m с поверхности Земли на высоту h
Выход тела в
межпланетное пространство означает
запуск его на бесконечную высоту
.
Вычислим необходимую для этого работу:
где m
– масса тела; g
– ускорение свободного падения у
поверхности Земли (трение и притяжение
других планет при этом не учитываются).
Эта работа совершается за счет изменения
кинетической энергии тела. Поэтому
кинетическая энергия тела в начальный
момент должна быть не меньше этой работы,
т.е. начальная скорость тела v
должна быть такая, чтобы
или
Если начальная скорость тела равна 11,2 км/с, то его траектория движения представляет собой параболу. При начальной скорости, большей 11,2 км/с, траектория будет представлять собой гиперболу, а при начальной скорости, меньшей 11,2 км/с, тело будет двигаться по эллиптической траектории. При этом либо упадет на Землю, либо станет искусственным спутником Земли.
Задачи к п. 3
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
Найти площади фигур, ограниченных линиями:
37.
38.
39.
40.
41.
y
=
1.