Материал: Математический анализ . Часть 2. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

4. Ряды

4.1. Понятие числового ряда

В настоящей главе будут рассмотрены ряды, являющиеся важ­ным математическим аппаратом, применяемым для вычислений и исследований как в различных разделах самой математики, так и во многих ее приложениях.

1. Основные определения. Пусть дана числовая последователь­ность . Выражение вида

(4.1)

называется числовым рядом или просто рядом.

Числа называются членами ряда, член с про­извольным номером  общим членом ряда.

Суммы конечного числа членов ряда

называются частичными суммами ряда (4.1). Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм

(4.2)

Ряд (4.1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (4.2) сходится к какому-нибудь числу S, которое в этом случае называется суммой ряда (4.1). Символически это запи­сывается так:

Если же последовательность частичных сумм (4.2) расходится, то ряд (4.1) называется расходящимся.

Пример 1. Покажем, что ряд

сходится. Возьмем сумму первых п членов ряда

Слагаемые этой суммы могут быть представлены в виде

Поэтому

Отсюда следует, что предел последовательности частичных сумм данного ряда равен единице:

Таким образом, ряд сходится, и его сумма S равна 1.

Пример 2. Установим, сходится или расходится ряд

Последовательность его частичных сумм имеет вид , и, значит, не сходится ни к какому пределу, поэтому данный ряд расходится.

Пример 3. Рассмотрим ряд, составленный из элементов геомет­рической прогрессии

(4.3)

Частичная сумма этого ряда при имеет вид

Отсюда:

1) если , то

т. е. ряд сходится и его сумма Например, при а = 1, имеем:

2) если , то , т. е. ряд расходится;

3) при ряд (4.3) принимает вид . В этом случае т.е. ряд расходится;

4) при ряд (4.3) принимает вид . Для него т.е. при n четном и при п нечетном. Следовательно, не существует и ряд расходится.

Таким образом, ряд (4.3) является сходящимся при и расходящимся при

2. Свойства сходящихся рядов.

Теорема 1. Если сходится ряд

(4.4)

то сходится и ряд

(4.5)

и обратно, если сходится ряд (4.5), то сходится и ряд (4.4).

Другими словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.

Над сходящимися рядами можно выполнять обычные арифмети­ческие действия.

Теорема 2. Если ряд сходится и его сумма равна S, то и ряд , где с  некоторое число, также сходится, и его сумма равна cS.

Теорема 3. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны S и , то и ряд

сходится и его сумма равна S ± .

Таким образом, установлено, что сходящиеся ряды можно умно­жать на число, почленно складывать и вычитать так же, как и ко­нечные суммы.

3. Необходимое условие сходимости ряда. При рассмотрении рядов возникают две задачи: 1) исследовать ряд на сходимость и 2) зная, что ряд сходится, найти его сумму. Будем решать в основ­ном первую задачу, имеющую теоретический характер. Приведем необходимое условие сходимости рядов.

Теорема 4. Если ряд сходится, то его общий член

стремится к нулю, т. е.

Условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда.

Пример. Рассмотрим ряд

который называют гармоническим рядом. Очевидно, что для гармо­нического ряда выполнено необходимое условие сходимости, так как Докажем, что этот ряд расходится. Действительно, если бы этот ряд сходился, то, обозначая его сумму через S мы бы имели

Но

т.е. Отсюда следует, что равенство невозможно, т. е. гармонический ряд расходится.

Таким образом, если общий член ряда стремится к нулю, то еще нельзя сделать вывод о сходимости ряда. Необходимо допол­нительное исследование, которое может быть проведено с помощью достаточных условий (признаков) сходимости ряда.

Если же для некоторого ряда его общий член не стремится к нулю, то теорема 4 позволяет сразу сказать, что такой ряд расходится.

2. Ряды с неотрицательными членами

Перейдем теперь к рассмотрению некоторых достаточных усло­вий сходимости рядов с неотрицательными членами. Предвари­тельно сформулируем теорему, которая будет использована в последую­щих рассуждениях.

Теорема 5. Для того чтобы ряд с неотрицатель­ными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последо­вательность частичных сумм этого ряда была ограничена.

Достаточные условия сходимости ряда. Установим ряд призна­ков, позволяющих сделать вывод о сходимости (расходимости) рассматриваемого ряда.

Теорема 6 (признак сравнения). Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и и для всех n выполняется неравенство Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Пример 1. Ряд сходится, так как сходится

ряд из членов геометрической прогрессии: ,

а члены данного ряда не больше соответствующих членов ряда

сходящейся геометрической прогрессии:

Пример 2. Ряд расходится, поскольку его члены не меньше членов гармонического ряда а гармонический ряд расходится.

Существуют признаки сходимости рядов, позволяющие непосред­ственно судить о сходимости (или расходимости) данного ряда, не сравнивая его с другим рядом, о котором известно, сходится он или расходится. Рассмотрим два из них.

Теорема 7 (признак Даламбера). Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел . Тогда а) при ряд сходится; б) при ряд расходится.

З а м е ч а н и е. При , как показывают примеры, ряд может как сходиться, так и расходиться. В этом случае необходимо дополнительное исследование ряда с помощью признака сравнения или других признаков.

Пример 3. Ряд сходится, так как