Материал: Математический анализ . Часть 2. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

Пример 4. Ряд расходится, так как

Пример 5. Рассмотрим ряд . Имеем Согласно признаку Даламбера сделать заключение о сходимости или расходимости ряда нельзя. Однако, как было показано ранее (см. пример 2), этот ряд расходится.

Теорема 8 (признак Коши). Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел . Тогда а) при ряд сходится; б) при ряд расходится.

Пример 6. Рассмотрим ряд . Имеем и Согласно признаку Коши этот ряд сходится.

Теорема 9 (интегральный признак). Пусть дан ряд

члены которого являются значениями некоторой функции

, положительной, непрерывной и убывающей на полуинтервале . Тогда, если сходится, то сходится и ряд ; если же расходится, то ряд также расходится.

Пример 7. Рассмотрим ряд

( ).

С помощью интегрального признака выясним поведение данного ряда при . Возьмем в качестве функции функцию которая удовлетворяет условиям теоремы 8. Члены ряда равны значениям этой функции при . Как известно, несобственный интеграл при сходится, а при расходится. Следовательно, данный ряд сходится при и расходится при .

Заметим, что при такие ряды также расходятся, так как их общий член не стремится к нулю при , т. е. наруша­ется необходимое условие сходимости ряда (см. теорему 4).

В частности, при имеем сходящийся ряд ;

при  расходящийся гармонический ряд ; при pacходящийся ряд и т.д.

4.3. Знакочередующиеся ряды

До сих пор мы рассматривали ряды с неотрицательными чле­нами. Ряды с неположительными членами отличаются от соответ­ствующих рядов с неотрицательными членами только множителем 1, поэтому вопрос о их сходимости решается аналогично.

Перейдем теперь к рассмотрению знакочередующихся рядов, члены которых имеют чередующиеся знаки. Для удобства будем считать, что первый член такого ряда положителен. Тогда знако­чередующийся ряд можно записать в виде

(4.6)

где

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий очень простой достаточный признак сходимости.

Теорема 10 (признак Лейбница). Если абсолютные величины членов знакочере­дующегося ряда (4.6) монотонно убывают: и общий член ряда стремится к нулю: , то ряд сходится.

Пример. Ряд

сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница:

1) ; 2) Заметим, что этот ряд отличается от гармонического ряда только знаками четных членов.

4.4. Абсолютная и условная сходимость рядов

Рассмотрим теперь ряды с членами произвольных знаков. Та­кие ряды называются знакопеременными рядами.

Возьмем какой-нибудь знакопеременный ряд

, (4.7)

где числа могут быть как положительными, так и отрицательными, причем расположение положительных и отрицательных членов в ряде произвольно. Одновременно рассмо­трим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (4.7):

(4.8)

Для знакопеременных рядов имеет место следующий признак сходимости.

Теорема 11. Если ряд (4.8) сходится, то сходится и ряд (4.7).

Пример 1. Ряд

согласно доказанному признаку сходится, так как сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: (см. пример 6 из п. 4.2).

Рассмотренный признак сходимости знакопеременного ряда яв­ляется достаточным, но не необходимым, так как существуют зна­копеременные ряды, которые сходятся, а ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся. Так, например, ряд согласно признаку Лейбница сходится, а ряд составленный из абсолютных величин его членов, расходится (гармонический ряд).

Поэтому все сходящиеся ряды можно разделить на абсолютно и условно сходящиеся.

К абсолютно сходящимся рядам относятся сходящиеся ряды, для которых ряды, составленные из абсолютных величин их чле­нов, также сходятся.

К условно сходящимся рядам относятся сходящиеся ряды, для которых ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.

Пример 2. Ряд абсо­лютно сходящийся, так как ряд, составленный из абсолютных величин , также схо­дится. (Оба ряда  геометрические. прогрессии со знаменателями, соответственно равными и ).

Пример 3. Ряд условно сходя­щийся, так как сам он сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин, расходится (см. пример 6 из п. 4.2).

Заметим, что деление сходящихся рядов на абсолютно и условно сходящиеся существенно. Дело в том, что абсолютно сходящиеся ряды обладают рядом важных свойств, тогда как условно сходя­щиеся ряды некоторыми из этих свойств не обладают. Например, для условно сходящихся рядов сумма ряда не равна сумме поло­жительных и сумме отрицательных членов ряда, как это имеет место для абсолютно сходящихся рядов.

4.5. Степенные ряды

1. Определение и общие замечания. Ряд вида

(4.9)

называется степенным рядом.

Числа называются коэффици-ентами степенного ряда.

Придавая х различные числовые значения, будем получать раз­личные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися. Множество тех значений х, при которых ряд (4.9) сходится, называется областью его сходимости. Это множество всегда не пусто, так как любой степенной ряд сходится при Очевидно, что частичная сумма степенного ряда является функцией переменной х. Поэтому и сумма ряда S также является некоторой функцией переменной х, определенной в области сходимости ряда:

2. Интервал сходимости степенного ряда. Сформулируем теорему, имеющую важное значение в теории степенных рядов и касающуюся области сходимости степенного ряда.

Теорема 12 (теорема Абеля). 1) Если степен­ной ряд (4.9) сходится при , то он сходится, и при­том абсолютно, для всех х, удовлетворяющих условию

2) если ряд (4.9) расходится при , то он расходится для всех х, удовлетворяющих условию .

Т еорема Абеля утверждает, что если точка сходимости степенного ряда, то во всех точках, расположенных на интервале (рис. 20, а), этот ряд сходится абсолютно, а если  точка расходимости степенного ряда, то во всех т

Рис. 20