Материал: Математический анализ . Часть 2. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

откуда .

Кроме рассмотренных функций , , в ряд Маклорена могут быть разложены и многие другие функции. Вместо ряда Маклорена можно было бы рассмотреть более общий ряд Тейлора по степеням , где , т.е. ряд вида

Все изложенное полностью переносится и на эти ряды.

При разложении функции в ряд Маклорена было использовано свойство почленной дифференцируемости степенных рядов. Аналогично можно использовать и другое свойство степенных рядов – их почленную интегрируемость. В качестве примера разложим с помощью почленного интегрирования в степенные ряды функции и .

Рассмотрим ряд Данный ряд является геометрической прогрессией, первый член которой равен единице, а знаменатель . Как известно, при данный ряд сходится и его сумма равна . Следовательно,

. (4.17)

Равенство (4.17) является разложением функции в степенной ряд.

Подставляя в равенство (4.17) вместо х, получаем равенство справедливое при Проинтегрируем этот степенной ряд почленно в пределах от 0 до х ( ). Имеем

Отсюда

. (4.18)

Равенство (4.18) является разложением функции в степенной ряд. Оно справедливо при . Можно доказать, что это равенство верно и для . Действительно, при левая часть (4.18) равна , а правая часть – сходящийся по признаку Лейбница числовой ряд

. (4.19)

Остается проверить справедливость равенства

(4.20)

Для этого проинтегрируем от 0 до 1 выражение

,

полученное в результате деления единицы на . Имеем

,

т. е. (4.21)

В этом равенстве сумма первых п слагаемых является частичной суммой ряда (4.19). Запишем (4.21) в виде

= (4.22)

Так как при то

при . Отсюда заключаем, что интеграл в правой части

(4.22) стремится к нулю при , следовательно,

что и означает справедливость равенства (4.20).

Найдем теперь разложение функции . Подставляя в (4.17) вместо х и интегрируя по t от 0 до х, имеем

. (4.23)

Равенство (4.23) справедливо при . Однако аналогично предыдущему можно показать, что оно верно и для .

В заключение отметим, что степенные ряды имеют разнообразные приложения. С их помощью с любой заданной точностью вычисляют значения функций (в частности, значения и е); находят приближенные значения определенных интегралов, которые или не выражаются через элементарные функции, или сложны для вычислений. Так, например, интеграл не берется в элементарных функциях, поскольку первообразная функции не является элементарной. В то же время эта первообразная легко выражается в виде степенного ряда. Действительно, так как то, умножая этот ряд на , получаем причем последний ряд сходится при любом х. Интегрируя его почленно от 0 до а, имеем .

С помощью этого равенства можно при любом а с любой степенью точности вычислить данный интеграл.

4.6. Ряды Фурье

1. Тригонометрический ряд и его основные свойства. Определение. Ряд вида

(4.24)

называется тригонометрическим рядом, а числа коэффициентами тригонометри-ческого ряда.

В отличие от степенного ряда, рассмотренного ранее, в тригоно­метрическом ряде вместо простейших функций взяты тригонометрические функции

(4.25)

которые также хорошо изучены.

Прежде всего отметим, что все функции системы (4.25) являются периодическими с периодом . В самом деле, постоянная имеет любой период, а период функций sin nx и cos nx (n = l, 2, ...) равен и, следовательно, каждый член тригонометрического ря­да (4.24) является периодической функцией с периодом . По­этому и любая частичная сумма ряда (4.24) -периодична (если все члены ряда не меняются от замены х на , то и сумма его не изменяется от этой замены). Отсюда следует, что если ряд (4.24) сходится на отрезке то он сходится на всей число­вой прямой и его сумма, будучи пределом последовательности пе­риодических частичных сумм, является периодической функцией с периодом . Поэтому тригонометрические ряды особенно удобны при изучении периодических функций, описывающих различные периодические процессы, которые имеют место в природе и технике. Примерами периодических процессов служат колебательные и вра­щательные движения различных деталей машин и приборов, перио­дическое движение небесных тел и элементарных частиц, акусти­ческие и электромагнитные колебания и др.

Другим важным свойством функций системы (4.25) является их ортогональность на отрезке в следующем смысле: интеграл по отрезку от произведения любых двух различных функ­ций этой системы равен нулю, а интеграл по отрезку от квадрата любой функции этой системы отличен от нуля. Действительно,

(4.26)

Далее,

(4.27)