Материал: Математический анализ . Часть 2. Бырдин А.П., Заварзин Н.В
Таким образом,
Заметим, что вычисление интегралов с помощью подстановок Эйлера обычно приводит к громоздким выражениям и трудоемким выкладкам, поэтому их следует применять, только если данный интеграл не удается вычислить более коротким способом.
3. Интеграл вида
где R
рациональная функция от sin
x и от cos
x. Покажем,
что интеграл рационализируется
подстановкой
Действительно,
так что
где рациональная функция от t.
Пример 5.
Вычислить
Решение.
Применяя подстановку
получаем
Таким образом,
4. Интеграл вида
Покажем, что данный интеграл
рационализируется подстановкой
В самом деле, так как
то
где
рациональная функция от t.
Пример 6.
Вычислить
Решение.
Полагаем
,
отсюда
Следовательно,
В заключение отметим, что рассмотренные методы и приемы интегрирования не исчерпывают всех классов аналитически интегрируемых элементарных функций. В то же время из всего изложенного следует, что операция интегрирования сложнее операции дифференцирования. Необходимы определенные навыки и изобретательность, которые приобретаются на практике в результате решения большого числа примеров.
Отметим также, что если дифференцирование не выводит из класса элементарных функций, то при интегрировании дело обстоит иначе. Существуют такие элементарные функции, первообразные от которых не являются элементарными функциями. Такие первообразные не только существуют, но и играют большую роль как в самом математическом анализе, так и в его приложениях. Они хорошо изучены, для них составлены таблицы и графики, помогающие их практическому использованию.
Если первообразная не является элементарной функцией, то говорят, что интеграл «не берется» в элементарных функциях.
Задачи к п. 2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.