Материал: Математический анализ . Часть 2. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

Приравнивая коэффициенты при , получим , откуда Таким образом,

2.6. Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций

Предварительно введем обозначение рациональной функции от двух переменных u и v, т. е. функции, получающейся из двух переменных u и v и некоторых постоянных, над которыми производятся только операции сло-жения, вычитания, умножения и деления:  . Такова, например, функция

Если переменные u и v, в свою очередь, являются функциями переменной х: то функция называется рациональной функцией от и Например, функция

является рациональной функцией от х и от здесь , а функция является рациональной функцией от и от :

Рассмотрим теперь интегралы от некоторых простейших иррациональных и трансцендентных функций и покажем, что в ряде случаев они сводятся к интегралам от рациональных функций (или, как говорят, рационализируются) и могут быть вычислены методами, рассмотренными в п. 2.5.

1. Интеграл вида где a, b, c, d,  некоторые числа m – натуральное число, R – рациональная функция от х и от

Покажем, что такой интеграл рационализируется подстановкой

В самом деле,

так что

где рациональная функция аргумента t.

Пример 1. Вычислить

Решение. Сделав подстановку получим

Далее, имеем

Пример 2. Вычислить

Решение. Имеем

2. Интеграл вида где a, b, c – некоторые числа; R – рациональная функция от х и от

Если трехчлен имеет действительные корни и , то

.

Следовательно,

т. е. получаем интеграл, рассмотренный в п. 1.

Если то т.е. под знаком интеграла находится рациональная функция от х.

Поэтому интересен случай, когда трехчлен не имеет действительных корней и . Покажем, что в данном случае интеграл рационализируется подстановкой Эйлера

Возводя обе части равенства в квадрат, получаем так что

Таким образом, где  рациональная функция от t.

Если же в трехчлене а то для рационализации интеграла можно применить другую подстановку Эйлера

Пример 3. Вычислить .

Решение. Поскольку трехчлен имеет комплексные корни, сделаем подстановку Возводя обе части равенства в квадрат, получаем или отсюда

Тогда Далее имеем

Умножая обе части равенства на получаем

или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, относительно A, B, и D получаем систему уравнений

первой степени

откуда A = 2, B = 3, D = 3. Следовательно,

и окончательно

Пример 4. Вычислить

Решение. Здесь в трехчлене , , поэтому воспользуемся подстановкой Возводя обе части равенства в квадрат, получаем или отсюда