Материал: Математический анализ . учебное пособие. Бырдин А.П., Заварзин Н.В
Отметим, что число
е играет большую роль во многих вопросах
математики. Оно, в частности, является
основанием натуральных логарифмов.
Отметим, что так как
и из (1.6)
непосредственно очевидно, что
,
то число е
заключено
в пределах
.
Доказано, что число е
иррациональное.
Задачи к п. 1
Написать первые пять членов последовательностей:
1. 1)
2)
3)
Какие из последовательностей являются ограниченными:
2. 1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
3. Известно,
что
Найти номер N,
начиная с которого выполняется
неравенство
где
4. Доказать,
что: 1)
2)
3)
4)
Установить, какие из заданных последовательностей являются бесконечно большими:
5. 1)
2)
3)
4)
Доказать, что последовательности являются бесконечно малыми:
1)
2)
при
.
3)
7. Доказать,
что последовательность
является бесконечно большой при
и бесконечно малой при
Вычислить пределы:
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Доказать монотонность последовательностей:
1)
2)
3)
4)
5)
15. Доказать,
что последовательность
сходится,
и найти ее предел.
Ответы к п. 1
2. 1),
3), 5), 6). 3.
10,
100, 1000. 5.
1), 4). 8.
5/9.
9.
1/2.
10.
0. 11. .
12. 0.
13. 1/5.
(29)
2. Функции одной переменной
В средней школе начато изучение важнейшего понятия математического анализа – понятие функции. В этом разделе будет введено понятие предела функции, а также понятие непрерывности функции.
2.1. Классификация функций
Основными элементарными функциями называют следующие функции.
1)
Показательная функция
,
,
.
На рис. 1 показаны графики показательных
функций, соответствующие различным
основаниям степени.
Рис. 1
2)
Степенная функция
,
.
Примеры
графиков степенных функций,
соответствующих различным показателям
степени, предоставлены на рис. 2.
Рис. 2
3)
Логарифмическая функция
,
,
;
Графики логарифмических функций,
соответствующие различным основаниям,
показаны на рис. 3.
Рис. 3
4)
Тригонометрические функции
,
,
,
;
Графики
тригонометрических функций имеют вид,
показанный на рис. 4.
Рис. 4
5)
Обратные тригонометрические функции
,
,
,
.
На рис. 5 показаны графики обратных
тригонометрических функций.
Рис. 5
Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией. Примерами элементарных функций могут служить функции