Материал: Математический анализ . учебное пособие. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

1. Предел последовательности точек.

Введем предварительное понятие последовательности точек n-мерного евклидова пространства. Пусть каждому числу m натурального ряда чисел 1,2,…,m,… ставится в соответствие точка евклидова пространства . Возникающий при этом ряд точек , ,..., ,…, рассматриваемый в указанном порядке, называется последовательностью точек евклидова пространства и обозначается символом .

Определение. Последовательность точек евклидова пространства называется сходящейся, если существует точка пространства такая, что для любого положительного числа можно указать отвечающий ему номер N такой, что при выполняется неравенство . При этом точка называется пределом последовательности .

Для обозначения предела последовательности используют символы:

, или при .

Справедливо важное утверждение, сводящее сходимость последовательности точек к покоординатной сходимости.

Теорема 1. Последовательность точек n- мерного евклидова пространства сходится к точке этого пространства тогда и только тогда, когда числовые последовательности координат точек { }, { },…, { } сходятся соответственно к числам ,..., , представляющим координаты точки .

Пример. Пусть последовательность точек { } из такова, что

.

Тогда пределом последовательности точек при , будет, очевидно, точка :

.

2. Предел функции.

Рассмотрим функцию , определенную на множестве {M} точек n-мерного евклидова пространства и точку А пространства , быть может и не принадлежащую множеству {M}, но обладающую тем свойством, что в любой - окрестности этой точки содержится хотя бы одна точка множества {M}, отличная от точки А (такая точка называется предельной точкой множества {M}).

Определение 1. (Предел функции в точке А по Гейне).

Число b называется пределом (или предельным значением) функции в точке А ( или при ), если для любой сходящейся к А последовательности { } точек множества {M} задания этой функции, все элементы которой отличны от А, соответствующая числовая последовательность значений функции { } сходится к числу b.

Для обозначения предела функции в точке А используются обозначения:

или ,

где , …, - координаты точки А.

Определение 2. (Предел функции в точке А по Коши).

Число b называется пределом (или предельным значением) функции в точке А (или при ), если для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для любой точки М из множества {M} задания этой функции, удовлетворяющей условию , справедливо неравенство .

З а м е ч а н и е. Согласно определению, предел функции не зависит от способа приближения точки к точке (рис. 45).

(2)

-окрестность точки А.

А

b

(3)

a

Рис. 45

Предел должен быть одним и тем же числом b при приближении точки к точке по любому пути.

Пример 1. Существует ли предел ?

Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции. Возьмем две последовательности точек { } и {}, сходящиеся к точке О(0,0). Пусть , которые при приближаются к О(0,0). Получаем две соответствующие этим точкам последовательности значений функций

, (при ).

Следовательно, рассматриваемый предел не существует. Этот результат можно получить другим способом, устремляя точку к точке О(0,0) по прямой . Действительно,

.

Таким образом, приближаясь к точке О(0,0) по разным прямым, соответствующим разным значениям углового коэффициента , получаем разные предельные значения функции. Отсюда и следует, что предел этой функции в точке О(0,0) не существует.

Пример 2. Существует ли предел ?

Решение. Выполним оценку абсолютной величины функции. Имеем:

.

Выполнение последнего неравенства легко увидеть из рассуждений:

, , .

Поскольку , то .

Пример 3. Существует ли предел ?

Решение. Данная функция определена во всех точках плоскости, то есть пространства , кроме точки О(0,0). Вычислим предел этой функции при по любой прямой , проходящей через начало координат. Имеем:

при .

Однако эта функция не имеет предела в точке (0,0), поскольку при , получаем:

, поэтому .

Введем понятие предела функции при . Для этого надо считать, что множество {M}, на котором задана эта функция, для любого имеет хотя бы один элемент М, лежащий вне шара радиуса с центром в точке О(0,…,0).

Определение. Число b называется пределом функции при , если для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек М из множества {M} задания функции, удовлетворяющих условию , справедливо неравенство .

Для обозначения предела функции при используется символ:

.

Как и в случае функции одной переменной, арифметические операции над функциями нескольких переменных, имеющими предел в данной точке (или при , приводят к функциям, имеющим предел в точке (соответственно при ).

Теорема 2. Пусть две функции и определены на одном и том же множестве и имеют в точке пределы и . Тогда функции , , имеют в точке пределы, равные соответственно , , (в случае частного нужно дополнительно требовать, чтобы .

Доказательство этих утверждений совершенно аналогично доказательству подобной теоремы для функций одной переменной.

Пример 4. Вычислить предел .

Решение. Согласно сформулированной выше теореме, имеем:

.

Пример 5. Вычислить предел .

Решение. Используя известное из элементарной математики неравенство получим, (при и ):

.