Материал: Математический анализ . учебное пособие. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

Отсюда следует, что:

.

Таким образом, предел данной функции равен нулю.

3. Бесконечно малые функции.

Функция называется бесконечно малой при (или в точке ), если .

Используя определение предела функции в форме Коши (определение 2), можно придать определению бесконечно малой функции более содержательную форму.

Определение. (в форме Коши). Функция называется бесконечно малой, если, каково бы ни было малое положительное число , существует соответствующее ему число такое, что для любой точки М из области определения функции, удовлетворяющей условию , абсолютная величина значений функции будет меньше : .

Следующая теорема устанавливает связь между предельным значением функции и бесконечно малой в окрестности предельной точки.

Теорема 3. Если функция представляется в виде , где – постоянная, – бесконечно малая функция при , то .

Обратно, если , то , где – бесконечно малая функция при .

Доказательство. Прямое утверждение.

Пусть функция может быть представлена в виде , где – постоянная, - бесконечно малая при . Отсюда имеем: , т.е. . При , так как – бесконечно малая функция, – любое сколь угодно малое число. Поэтому существует такая – окрестность точки , что для всех точек М из этой окрестности . Поэтому .

Обратное утверждение. Пусть . Это значит, что при всяком существует – окрестность точки , для всех точек М из которой . Обозначим . Тогда . Но последнее и означает, что – бесконечно малая функция при . Таким образом: .

Бесконечно большая функция. Будем писать , если функция определена в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , и для всякого найдется такое, что , как только , для всех точек М, принадлежащих - окрестности точки .

4. Повторные пределы*. Для функции нескольких переменных можно определить понятие предела по одной из переменных при фиксированных значениях остальных переменных. В связи с этим возникает понятие повторного предела.

Рассмотрим для простоты функцию двух переменных.

Пусть функция задана в некоторой прямоугольной окрестности точки , , за исключением, быть может, самой точки . Пусть для каждого фиксированного , удовлетворяющего условию , существует предел функции одной переменной в точке :

.

Пусть, кроме того, существует предел b функции в точке

.

В этом случае говорят, что существует повторный предел b для функции в точке , который обозначается следующим образом:

.

______________________________________________________

*) Этот раздел предназначен для самостоятельного изучения.

Другой повторный предел получится, если вначале устремить , т.е. при фиксированном x, удовлетворяющим условию , получить предел

,

а затем при получить повторный предел

.

Замечание. Не следует думать, что числа b и B обязательно совпадают, они могут и отличаться друг от друга.

Пример 6. Вычислить повторные пределы при , от функции

.

Решение. 1) Вычислим повторный предел . Имеем:

;

.

2) Вычислим повторный предел .

;

.

Таким образом, для данной функции повторные пределы не совпадают: .

Пример 7. Вычислить повторные пределы функции

в точке (см. пример 1).

Решение. 1) Вычислим повторный предел . Имеем:

; .

2) Вычислим повторный предел . Получим

; .

Таким образом, для данной функции повторные пределы оказались равными. Однако, в примере 1 показано, что предел этой функции в точке не существует. На основании этого результата можно сделать вывод: из существования и равенства повторных пределов функции в данной точке не следует существования предела функции в этой точке.

Из результата решения примера 6 следует, что, вообще говоря, нельзя допускать перестановку предельных переходов в повторных пределах.

Следующая теорема устанавливает достаточные условия равенства двух введенных повторных пределов.

Теорема 4. Пусть функция определена в некоторой прямоугольной окрестности , точки и имеет в этой точке предел, равный b. Пусть, кроме того, для любого фиксированного х, удовлетворяющего условию , существует предел и для любого фиксированного , , существует предел .

Тогда повторные пределы и существуют и оба равны .

Доказательство. Так как функция имеет в точке предел, равный b, то для любого можно указать такое , что при и выполняется неравенство . То есть в прямоугольной окрестности , точки значения функции отличаются от числа b не более чем на . Но тогда пределы функций и , указанные в условии теоремы при х и у, удовлетворяющих неравенствам и , так же отличаются от числа b не более чем на .