Материал: Математический анализ . учебное пособие. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

2. Свойства непрерывных функций нескольких переменных.

Доказательства перечисленных ниже свойств непрерывных функций нескольких переменных аналогичны доказательствам соответствующих свойств функций одной переменной, поэтому они не приводятся.

Арифметические операции над непрерывными функциями.

Если функции и заданы на одном и том же множестве и непрерывны в некоторой точке этого множества, то функции , и также непрерывны в точке (в случае частного необходимо дополнительно требовать, чтобы ).

Непрерывность сложной функции двух переменных.

Если и - непрерывные функции в точке плоскости , а функция непрерывна в точке , плоскости , то сложная функция будет непрерывна в точке .

Пример 1. В каких точках непрерывна функция

?

Решение. Эта функция непрерывна всюду, так как она представляет собой сумму двух функций, каждая из которых является композицией непрерывных функций.

Пример 2. В какой области определена функция ? Где она непрерывна?

Решение. Частное определено при , т. е. во всех точках плоскости, кроме оси . Предполагая, что , видим, что функция определена для всех тех значений переменных и , для которых отношение не является нечетнократным числу , т. е. ,

Таким образом, функция определена для всех точек , которые не принадлежат прямой и ни одной из прямых

, , . . . , , . . .

Так как рассматриваемая функция является в этой области композицией непрерывных функций, то она непрерывна всюду, где определена.

3. Дополнение о разрывах непрерывности.

У функций одного аргумента читатель встречался с тремя типами разрывов: бесконечными разрывами, конечными скачками (разрывами первого рода) и точками, в которых функция не стремится к пределу (с одной, либо с обеих сторон). У функций многих переменных такая простая классификация невозможна. У таких функций нарушение непрерывности может происходить не только в уединенных точках, но и вдоль линий или поверхностей (для функций трех и более переменных).

Пример 3. Установить, будет ли непрерывной в точке O (0,0) функция

Решение. Эта функция непрерывна в точке О(0,0) по каждой из переменных и , т. е. непрерывна на каждой из координатных осей. Это очевидно, так как на оси ; на оси . Однако она непрерывной не является. Действительно, рассмотрим прямые, проходящие через точку О(0,0) вида . В каждой точке такой прямой, за исключением точки О(0,0), функция принимает одно и то же постоянное значение (при фиксированном ). Таким образом, пределы функции для разных прямых (разные ) различны и, к тому же, не совпадают со значением функции в точке О(0,0). Функция разрывна – на всех рассматриваемых прямых она испытывает конечный скачок, равный .

Пример 4. Найти точки разрыва функции .

Р

z

y

Рис. 16

x

Рис. 48

Пример 5. Найти точки разрыва функции

.

Решение. Поскольку числитель и знаменатель – непрерывные функции, то функция может иметь разрывы лишь в точках, в которых знаменатель обращается в нуль. Решая уравнение , получаем ; т. е. функция имеет разрывы на этой прямой.

Рассмотрим поведение функции при , когда точка принадлежит прямой . Имеем:

Значит, точки прямой - точки устранимого разрыва функции. Рассмотрим теперь характер разрыва в точке О(0,0). Получаем

.

Отсюда следует, что О(0,0) – точка бесконечного разрыва.

5.5. Частные производные функции нескольких переменных

1. Частные производные функции.

Если в функции нескольких переменных дать определенные численные значения из области задания всем независимым переменным, кроме одной, и предоставить изменяться этой переменной, скажем _, то функция превратится в функцию одной переменной . В частности, рассматривая функцию двух переменных и приписывая аргументу определенное значение , получим функцию одной переменной. Геометрическим образом этой функции является кривая, полученная как пересечение плоскости и поверхности (рис. 49).

Пусть существует производная функции одной переменной в точке _. Это значит, что существует конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента

.

y

x

Рис. 49

Этот предел называется частной производной функции по х в точке и обозначается символом _, или , или , или . (Символ читается как «дэ круглое». Его не следует путать с символом «d»).

Таким образом, частная производная функции по х в точке по определению равна пределу отношения частного приращения функции по х к приращению аргумента , если этот предел существует при :

. (5.11)

Аналогично определяется частная производная функции в точке по переменной у:

. (5.12)

Отметим: из приведенных выше рассуждений следует, что частная производная функции по аргументу представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной при фиксированных значениях остальных переменных. Поэтому вычисление частных производных производится по обычным правилам вычисления производных функций одной переменной.

Пример 1. Найти частные производные в точке функции

Решение. Положим , получим функцию, зависящую только от х:

Производная этой функции по х равна : при она равна 142. Таким образом,

.

Для нахождения частной производной функции по у в точке положим . Получаем функцию переменной у:

Отсюда найдем ее производную в точке : .

Следовательно, .

Пример 2. Найти частные производные функции в точке .

Решение. Считая у постоянным, находим производную по х:

_.