Материал: Математика. учебно-методическое пособие. в 2 ч.. Горбунов В.В., Соколова О.А

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Например, функция y x2 6x 7 монотонно убывает на промежутке , 3 и монотонно возрастает на промежутке

3, .
Функция y f x называется четной, если	f x f x ,
и нечетной, если f x f x . График нечетной функции

симметричен относительно начала координат, а нечетной функции — относительно оси Oy .

Функция y f x	называется		периодической, если
существует такое число T 0 , что		для всех		x	из области
определения выполняется	условие	f	x T f x . Число			T
называется периодом.
Введем понятие предела функции.				y f x при
Число A называется пределом функции						x ,

стремящемся к а ( x a ), если для любого сколь угодно малого положительного ε > 0 найдется такое δ(ε) > 0, что для всех х,

удовлетворяющих

неравенству

x a

имеет место

неравенство

f x A

. Если

A есть предел функции y f x

при x a , то пишут

lim f x A .

x a

Определение

предела

функции y f x графически

иллюстрируется следующим образом (рис. 4).

А +

А –

a –

a +

Рис. 4

Для сколь угодно малой -окрестности A ; A около


ординаты A найдется такая окрестность точки a , что для
всех точек	x	из окрестности точки a			a ; a	точки
графика	функции		y f x	будут	лежать	внутри
полосы A ; A .
Число	A	называется пределом функции y f x при

x , если для любого сколь угодно малого ε > 0 найдется

такое N 0 , что			для всех x N	будет выполняться
неравенство	f x A	, что записывается
неравенство	f x A	, что записывается
			lim f x A .
			x
Графически это			иллюстрируется	следующим образом
(рис. 5).

A +

A –

Рис. 5

Для сколь угодно малой -окрестности около ординаты A найдется такое значение N , что для всех x N график функции не будет выходить за пределы полосы A ; A .

Пределы обладают следующими свойствами:

1. Предел алгебраической суммы функций u x и v x равен алгебраической сумме пределов этих функций.

lim u x v x	lim u x	lim v x .
x a	x a	x a
31

Пример 3.1.

	3x4	2x2		2			2
lim			lim 3		lim 3	lim
lim			lim 3		lim 3	lim
x		x4	x	x2	x	x x2

2. Предел произведения функций u x и произведению пределов этих функций.

lim u x v x lim u x lim v x .
x a	x a	x a

v x равен

	Постоянный множитель можно выносить за знак предела
lim cv x c lim v x .
x a	x a

3. Предел частного от деления двух функций и v x равен частному от деления пределов этих функций

u x

lim u x

x a

lim

lim v x

x a v x

x a

Пример 3.2. Вычислить предел lim

4x2

5x 1

x 3

4x2 5x 1

lim 4x2 5x 1

4lim x2

5lim x lim1

lim

x 3

3x 4

lim 3x 4

x 3

3lim x lim 4

x 3

u x

3 .

Если при вычислении пределов алгебраической суммы, произведения или частного от деления функций сами функции стремятся к некоторым константам, не равным одновременно нулю в случае деления функций, то вычисление пределов не вызывает затруднения.

Пределы отношения бесконечно малых величин, отношения бесконечно больших величин, произведения бесконечно малой и бесконечно большой величины могут принимать различные значения или даже не существовать.

Выражения вида	0	,	, 0 , , 1	называются


	0

неопределенностями.

Укажем приемы для «раскрытия неопределенности».

1. Пусть в числителе и знаменателе стоят многочлены, стремящиеся к бесконечности при x , т. е. чтобы убрать

неопределенность , необходимо выносить старшие степени



x в числителе и знаменателе дроби для последующего сокращения.

Пример 3.3.

				x2		(3	7			1			)		(3	7			1		)
	3x2 7x 1			x2		(3					x2		)		(3				x2		)
lim	3x2 7x 1	lim						x			x2			lim		x			x2				.
lim		lim												lim									.
x 5x3 4x2 2		x			3	4			2					x	4			2
				x		(5						)			x (5							)
				x		(5		x			x3	)			x (5		x			x3		)
Так как дроби вида			const			являются бесконечно малыми,
Так как дроби вида			xn			являются бесконечно малыми,
			xn

то в качестве слагаемых с числами 3 и 5 ими можно

пренебречь. Имеем lim	3		0.
пренебречь. Имеем lim			0.
x 5		х
2. Неопределенность вида				0	получается при
2. Неопределенность вида					получается при

				0

стремлении многочленов числителя и знаменателя к нулю при

х → а. Разложение на множители позволяет	выделить
в числителе и знаменателе бесконечно малые	x а	как

множители для дальнейшего сокращения и избавления от неопределенности.

Пример 3.4.

lim

3x 10

lim

(x 2) x 5

lim

x 5

x 2 x2 5x 2

x 2

2x 1 3

2(x 2) x

3. Если дробь содержит иррациональные выражения, то

для того, чтобы убрать неопределенность	0	, необходимо

0

избавиться от иррациональности, домножая числитель и знаменатель на иррационально сопряженные выражения. Если корни квадратные, то числитель и знаменатель умножается на сопряженное выражение, тем самым получается разность квадратов. Если же корни кубические, то выражения доводятся до разности или суммы кубов.

Пример. 3.5.

lim

3x 1 2

lim

( 3x 1 2)(

3x 1 2)

2 4x 5

x 2 4x 5 (

x 1 x

x 1

3x 1

lim

(3x 1) 4

lim

3 x 1

x 2 4x 5 (

4 x 1 x 5

x 1

1 2)

x 1

lim

(3x 1) 4

lim

3 x 1

x 2

4x 5 (

4 x 1 x 5

x 1

3x 1

x 1

= lim

x 1

4(х 5)

4. Дробь содержит тригонометрические функции,

которые при

x 0

стремятся к нулю. Получается неопре-

деленность вида

Для решения необходимо восполь-

зоваться первым замечательным пределом lim						sin x		1 .

				x 0		x
Пример. 3.6.
lim	sin 6x	lim	6sin 6x	6 lim	sin 6x		6.

x 0	x	x 0	6x	x 0 6x

Источник: https://studfile.net/preview/16565639/

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)