Материал: Математика. учебно-методическое пособие. в 2 ч.. Горбунов В.В., Соколова О.А

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Правила дифференцирования

1. y Cu(x) ,

2. y u(x) v(x) , 3. y u(x)v(x) ,

4. y u( x) , v( x)

y' Cu (x) .

y u (x) v (x) .

y u (x)v(x) u(x)v (x) .

y' u (x)v(x) u(x)v (x) . v2 (x)

5. Производная сложной функции y f (u), u (x).

y f (u) (x) .

u x

6. Производная параметрически заданной функции

y f (t)

 

 

 

 

 

x (t) ,

y

 

yt

.

 

 

 

 

x

 

xt

 

 

 

 

 

7. Производная обратной функции x

1/ y .

 

 

 

 

y

x

Пример 3.14. Найти производную функции y cos x . x2

Решение. Воспользуемся правилом дифференцирования дроби

y

x2 (cosx) cosx (x2 )

 

x 2 (sin x) 2x cos x

 

x(sin x) 2 cos x

.

x4

 

 

x 4

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример

3.15. Найти

производную сложной

функции

y ln6 (4x7 9).

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Обозначим

ln(4x7 9) u.

Тогда

y u6 .

По правилу дифференцирования сложной функции имеем

 

 

 

 

 

 

40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

y (u 6 )

(ln(4x7

9))

6 ln5 (4x7

9)

 

 

(4x7

9)

 

 

 

u

 

 

 

x

 

 

4x7

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

6 ln5 (4x7

9)

 

 

28x6 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x7 9

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3.16. Найти производную сложной функции y ln3 cos 62x 1 .

Решение:

Пример 3.17. Найти производную функции arcsin x 8x .

Решение. Основание и показатель степени заданной функции зависят от х. Поскольку в таблице производных нет степенно-показательных функций, прологарифмируем

y arcsin x 8x , чтобы затем найти ее производную

ln y ln arcsin x 8x 8x ln arcsin x.

Продифференцируем по х обе части полученного

равенства.

Функция

 

lnу

 

 

есть

сложная

функция от

х

 

и

(ln y)

1

y . Тогда

1

y 8ln arcsin x 8x

1

 

 

. Отсюда

 

 

 

 

y

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

y y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8ln arcsin x 8x

 

 

 

 

 

 

(arcsin)

 

8ln arcsin x 8x

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

2

 

 

 

 

 

1

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Использованный метод называют логарифмическим дифференцированием.

41

Пример 3.18. Найти

производную

y

параметрически

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x 7(t 2

ln t),

 

 

 

 

заданной функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2(8 sin 3t).

 

 

 

Решение.

Вычислим

производные

yt 6cos 3t ,

 

1

 

7 2t 2

1

. Получаем

y'x

6t cos 3t

.

xt 7 2t

 

 

 

 

 

 

7 2t 2 1

 

t

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3.19. Найти

производную

y

, если функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

задана уравнением F(x, y) = 0, не разрешенным относительно y — неявно заданная функция y3 3y 2x 0.

Решение. Продифференцируем обе части заданного

равенства по х, считая,

что

у есть

функция от

х.

Тогда

3y 2 y 3y 2 0;

3y ( y 2

1) 2 , откуда

y

 

2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

3(1 y2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производная

y f x

является

функцией

от

x и

называется производной первого порядка.

Если функция f x дифференцируема, то производная от

производной определена и называется производной второго порядка, обозначается

 

 

 

 

d 2 y

 

d

dy

y

 

 

 

 

 

 

.

 

f x

dx2

 

 

 

 

 

 

 

dx dx

По аналогии, производной

n -го

порядка называется

производная от производной

n 1 -го порядка, т. е.

y n y n 1 .

Производные порядка выше второго называются производными высших порядков, причем порядок производной обозначается числом в скобках, записанным в виде верхнего индекса.

42

Пример 3.20. Найти производную 5-го порядка функции y ln x .

Решение. y ln x

 

 

2

 

 

6

 

 

 

 

y

4

 

 

 

 

,

 

 

 

x3

 

 

x4

 

1x , y 5

 

1

 

 

1

 

y

 

 

 

 

,

 

x2

x

 

 

 

6 24 .x 4 5x

y 3 2 , x3

Введем понятие дифференциала функции. Пусть функция y f x дифференцируема на отрезке [a,b], т. е. приращение функции имеет вид y f x x ( x) , где (x) — величина бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с x .

Главная линейная по x часть приращения функции y f x x называется дифференциалом функции и обозначается символом dy или df x . Дифференциал независимой перемен-

ной величины x совпадает с ее приращением x , т. е. dx x . Таким образом,

dy = y dx .

Задача нахождения дифференциала функции равносильна нахождению производной, так как, умножив последнюю на дифференциал аргумента, получим дифференциал функции. Большинство теорем и формул, относящихся к производным, сохраняют свою силу и для дифференциалов. Например:

1.d u x v x du x dv x .

2.d u x v x u x dv x v x du x .

 

 

u x

 

u x dv x v x du x

 

 

 

3.

d

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

x

 

 

 

 

v x

 

 

 

 

 

4.

 

Дифференциал

 

сложной

функции

обладает

инвариантностью

формы,

 

т. е., если

y f u ,

u x , то

dy

f u du .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

43

 

 

 

Пусть функция y f x дифференцируема, а аргумент x является независимой переменной. Тогда ее дифференциал или

первый дифференциал

dy y dx также является функцией

x .

Если дифференциал оказался дифференцируемой функцией

x ,

то дифференциал от

дифференциала функции y f

x

существует и называется вторым дифференциалом или

дифференциалом второго порядка:

d dy d 2 y d y dx y dx dx y dx dx y dx 2 y dx2 .

Дифференциал n -го порядка определяется как дифференциал от дифференциала n 1 -го порядка:

d n y d d n 1 y .

Данные формулы справедливы, если x является независимой переменной.

Пример 3.21. Найти d 2 y , если y x3 , а x является независимой переменной величиной.

Решение: y 3x2 , y 6x , d 2 y 6x dx2 .

При вычислении пределов для раскрытия в них неопределенностей может быть использовано правило Лопиталя.

Теорема

Лопиталя.

Пусть

функции f x

и x

непрерывны и

дифференцируемы

в окрестности

точки x0

и обращаются в нуль в этой точке, т. е.

f x0 x0 0 , кроме

того, x0 0 , тогда, если существует предел

 

 

lim

f ' (x)

A , то

lim

f (x)

A .

 

 

x x0

' (x)

 

x x0

(x)

 

 

 

 

44

 

 

 

 
Источник: https://studfile.net/preview/16565639/

Смотрите также:

Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)