Материал: Механика деформируемого твердого тела
Геометрическая
интерпретация
( ) ( ) (
)(
)
2
2
d
d
2
dL
dl
dL
dl
dL
dl
ξ
ξ
ε
=
=
−
+
−
В
теории
малых
деформаций
лагранжев
тензор
конечных
деформаций
можно
заменить
тензором
линейных
деформаций
,
и
тогда
меру
деформаций
можно
записать
в
виде
( ) ( ) (
)(
)
j
i
ij
d
d
2
dL
dl
dL
dl
dL
dl
ξ
ξ
ε
=
=
+
Если
рассмотреть
бесконечно
малый
куб
,
расположенный
в
начале
координат
,
и
учесть
,
что
для
малых
деформаций
,
то
это
соотношение
примет
вид
dL
dl
≈
i
ii
u
dL
dl
ε
∂
=
=
−
так
как
являются
направляющими
косинусами
осей
координат
.
Таким
образом
,
диагональные
компоненты
тензора
линейных
деформаций
представляют
собой коэффициенты относительного удлинения вдоль осей координат
i
ii
dL
ξ
ε
∂
dL
d
i
ξ
собой
коэффициенты
относительного
удлинения
вдоль
осей
координат
.
Геометрическая
интерпретация
недиагональных
компонент
тензора
линейных
деформаций
основана
в
рассмотрении
линейных
элементов
лежащих
вдоль
осей
координат
.
Можно показать что первоначально прямой угол между
Можно
показать
,
что
первоначально
прямой
угол
между
осями
,
после
деформирования
и
пренебрежения
членами
более
высокого
порядка
малости
имеет
вид
2
ξ
3
ξ
23
3
2
2
u
u
cos
ε
ξ
ϑ
=
∂
∂
+
∂
∂
=
Следовательно
,
недиагональные
компоненты
представляют
собой
половины
изменения
углов
между
двумя
первоначально
ортогональными
линейными
элементами
и
называются
деформациями
сдвига
.
Компоненты
тензора
деформаций
2
3
u
ξ
∂
∂
Свойства
тензора
деформаций
р д ф р ц
Тензор
линейных
деформаций
является
симметричным
тензором
второго
ранга
,
и
поэтому
определение
его
главных
направлений
(
главных
осей
)
и
главных значений
(
главных деформаций
)
ведется стандартным методом
.
С
главных
значений
(
главных
деформаций
)
ведется
стандартным
методом
.
С
физической
точки
зрения
главные
направления
–
это
оси
координат
,
в
которых
тензор
деформаций
имеет
диагональный
вид
,
а
главные
деформации
–
это
относительные
удлинения
по
этим
осям
.
Для
нахождения
главных
деформаций
выписывается
характеристический
Д
д
д ф р
ц
р
р
многочлен
Его
корни
являются
главными
значениями
деформаций
и
обозначаются
.
Коэффициенты соответствуют первому
,
второму и третьему
0
I
I
I
3
2
2
1
3
=
−
+
−
λ
λ
λ
3
2
1
,
,
ε
ε
ε
.
Коэффициенты
соответствуют
первому
,
второму
и
третьему
инвариантам
деформаций
и
равны
соответственно
3
2
1
,
,
ii
1
1
I
J
ε
=
=
(
)
2
1
ij
ij
2
2
J
I
J
2
1
−
=
−
=
ε
ε
В
главных
осях
инварианты
деформаций
выражаются
через
главные
деформации
следующим
образом
(
)
1
ij
ij
2
ij
3
3
det
I
J
ε
=
=
3
2
1
1
J
ε
ε
ε
+
+
=
1
3
3
2
2
1
2
J
ε
ε
ε
ε
ε
ε
+
+
=
3
2
1
3
J
ε
ε
ε
=
Тензор
плоских
деформаций
Тензор
линейных
деформаций
можно
разложить
в
шаровой
тензор
и
девиатор
по
формуле
ε
δ
ε
ε
ij
ij
'
ij
−
=
где
-
символ
Кронекера
,
а
-
средняя
деформация
.
Очевидно что первый инвариант тензора деформаций тождественно равен нулю
ij
δ
(
)
3
2
1
3
1
ε
ε
ε
ε
+
+
=
Очевидно
,
что
первый
инвариант
тензора
деформаций
тождественно
равен
нулю
.
Когда
одна
из
главных
деформаций
тождественно
равна
нулю
,
говорят
,
что
реализуется
состояние
плоской
деформации
.
Для
плоской
деформации
, (
в
случае
)
перпендикулярной к оси
вектор перемещения является функцией только
0
J
'
3
'
2
'
1
'
1
=
+
+
=
ε
ε
ε
0
≡
ε
x
)
перпендикулярной
к
оси
,
вектор
перемещения
является
функцией
только
.
Соответствующие
компоненты
перемещения
для
этого
случая
имеют
вид
0
3
≡
ε
3
x
2
1
x
x
,
(
)
2
1
1
1
x
x
u
u
,
=
(
)
2
2
x
x
u
u
=
а
тензор
плоских
деформаций
⎟
⎞
⎜
⎛
0
12
11
ε
ε
(
)
2
1
2
2
x
x
u
u
,
0
u
3
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
0
0
0
0
22
12
12
11
ij
ε
ε
ε
Условия
совместности
Сен
-
Венана
Шесть
компонент
линейного
тензора
деформаций
(
тензор
симметричный
)
связаны
с
тремя
компонентами
вектора
перемещения
системой из шести уравнений в частных производных
системой
из
шести
уравнений
в
частных
производных
При
произвольном
выборе
компонент
тензора
деформаций
система
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
i
j
j
i
ij
x
u
x
u
2
1
ε
р
р
р
р д ф р
ц
переопределена
и
в
общем
случае
не
имеет
решения
.
Для
существования
непрерывных
и
однозначных
компонент
перемещения
необходимо
,
чтобы
компоненты
тензора
деформаций
удовлетворяли
дополнительным
уравнениям
совместности
или
неразрывности
д
ур
р р
деформаций
.
В
случае
линейного
тензора
деформаций
,
условия
совместности
для
односвязных
областей
,
были
впервые
установлены
Сен
-
Венаном
и
имеют
вид
∂
∂
∂
∂
ε
ε
ε
ε
2
2
2
2
и
только
шесть
соотношений
линейно
независимы
.
В случае плоской деформации шесть уравнений сводятся к одному
j
i
km
m
j
ik
k
i
jm
m
k
ij
x
x
x
x
x
x
x
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−
=
−
ε
ε
ε
ε
2
2
В
случае
плоской
деформации
шесть
уравнений
сводятся
к
одному
2
1
12
2
2
1
22
2
2
2
11
2
x
x
2
x
x
∂
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
ε
ε
ε
2
1
1
2
Напряженное
состояние
р
В
основе
МДТТ
лежит
концепция
сплошности
вещества
,
то
есть
,
предполагается
,
что
вещество
непрерывно
распределено по всему занимаемому им объему и целиком
распределено
по
всему
занимаемому
им
объему
и
целиком
заполняет
его
.
Поля
величин
,
таких
,
как
напряжения
и
перемещения
,
выражаются
кусочно
-
непрерывными
функциями
координат
и
времени
.
Движение
ДТТ
происходит
вследствие
того
,
что
на
частицы
тела
оказывают
воздействие
как
внешние
,
так
и
внутренние
силы
.
По
характеру
своего
воздействия
внешние
силы
подразделяются на те которые действуют на все точки
подразделяются
на
те
,
которые
действуют
на
все
точки
элемента
объема
,
занимаемого
телом
(
массовые
силы
),
и
те
,
которые
действуют
на
элемент
поверхности
,
будь
то
часть
граничной
или
любой
внутренней
поверхности
(
поверхностные
ра
о
л любо
у ре е
о ер ос
(
о ер ос
е
силы
).
Примером
массовых
сил
могут
служить
силы
гравитации
и
инерции
.
Эти
силы
обычно
обозначают
(
сила
,
отнесенная
к
)
(
i
F
b
единице
массы
)
или
(
сила
,
отнесенная
к
единице
объема
).
Поверхностные
силы
обозначаются
(
сила
,
отнесенная
к
единице
площади
).
i
F
i
i
F
b
ρ
=
i
T