Материал: Механика деформируемого твердого тела
Вектор
напряжения
Возьмем
произвольную
точку
М
внутри
тела
и
рассмотрим
в
данной
точке
бесконечно
малый элемент поверхности
Ориентацию
ds
малый
элемент
поверхности
.
Ориентацию
этой
площадки
определим
вектором
единичной
нормали
к
ней
,
а
полную
силу
,
действующую
со
стороны
тела
на
площадку
по направлению нормали
,
обозначим
.
ds
n
dT
по
направлению
нормали
,
обозначим
.
Принцип
напряжения
Коши
утверждает
,
что
существует
конечный
вектор
напряжения
i
dT
dT
t
i
n
i
=
который
можно
рассматривать
как
поверхностную
плотность
силы
взаимодействия
на
площадке
с
нормалью
.
ds
t
i
n
Вектор
напряжения
р
Из
принципа
напряжения
Коши
следует
,
что
в
произвольной
точке
тела
каждому
единичному
вектору
нормали
,
определяющему
ориентацию
бесконечно
малого
элемента
поверхности
,
соответствует
вектор
напряжения Совокупность всех возможных пар таких векторов и
напряжения
.
Совокупность
всех
возможных
пар
таких
векторов
и
нормалей
в
произвольной
точке
определяет
напряженное
состояние
в
этой
точке
.
Тензор
напряжений Коши
р
р
Если
рассмотреть
равновесие
бесконечно
малого
тетраэдра
,
вырезанного
из
ДТТ
с
вершиной
в
некоторой
произвольной
точке
и
боковыми
гранями
,
р
р
р
,
параллельными
координатным
плоскостям
под
действием
системы
поверхностных
и
массовых
сил
,
то
необходимо
,
чтобы
выполнялось
равенство
б
й
0
F
ds
t
ds
t
ds
t
ds
t
i
3
3
i
2
2
i
1
1
i
n
i
=
+
−
−
−
ρ
d
j
t
где
-
площади
боковых
граней
, -
вектора
напряжений
в
этих
гранях
, -
вектор
напряжения
,
действующий
на
основание
тетраэдра
площадью
и
нормалью
.
В предельном случае при уменьшении его
i
ds
j
i
t
n
i
t
ds
i
n
В
предельном
случае
,
при
уменьшении
его
размеров
до
нуля
,
следуют
соотношения
Здесь
-
компоненты вектора нормали
-
проекции векторов напряжения на параллельных
j
ij
n
i
n
t
t
=
n
t
Здесь
-
компоненты
вектора
нормали
, -
проекции
векторов
напряжения
на
параллельных
координатным
плоскостям
боковых
гранях
тетраэдра
.
Массовые
силы
,
порядок
малости
которых
меньше
,
чем
у
поверхностных
сил
,
не
дают
вклад
в
это
соотношение
.
Это
соотношение
устанавливает
линейную
однородную
зависимость
между
вектором
напряжения и вектором нормали
.
Величины
,
зависящие от положения точки в заданной
i
n
ij
t
ij
t
напряжения
и
вектором
нормали
.
Величины
,
зависящие
от
положения
точки
в
заданной
системе
координат
,
называются
компонентами
тензора
напряжения
в
эйлеровых
переменных
.
Введенный
таким
образом
тензор
второго
ранга
называется
тензором
напряжений
Коши
.
Он
определяет
напряженное
состояние
в
текущий
момент
времени
в
точке
деформированного
тела
.
ij
Тензор
напряжения
В
МДТТ
используются
и
другие
тензора
напряжений
,
например
,
тензор
Лагранжа
,
Пиола
-
Кирхгоффа
.
Можно
показать
,
что
тензора
напряжений
Коши
,
Лагранжа
и
Пиола
-
Кирхгоффа
ij
t
0
ij
t
0
ij
p
р
р
,
р
р
фф
связаны
соотношениями
ij
ij
ij
p
0
mk
i
k
j
0
ij
p
x
x
t
m
ξ
ξ
ρ
ρ
∂
∂
∂
∂
=
0
ik
k
j
0
ij
p
x
t
ξ
∂
∂
=
где
-
плотность
в
начальный
и
конечный
момент
времени
.
В
случае
линеаризации
всех
соотношений
по
перемещениям
и
их
производным
все
тензоры
напряжений
будут
совпадать
друг
j
0
,
ρ
ρ
р
д
р
р
уду
д
дру
с
другом
.
Компоненты
полученного
таким
образом
тензора
напряжения
,
как
правило
,
обозначают
.
В
матричной
форме
он
имеет
вид
ij
σ
⎟
⎞
⎜
⎛
13
12
11
σ
σ
σ
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
33
32
31
23
22
21
13
12
11
ij
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
Связь
вектора
напряжений
с
тензором
напряжения
Коши
в
этом
случае
запишется
,
как
j
ij
n
i
n
t
σ
=
Уравнения
равновесия
Для
равновесия
произвольного
объема
сплошной
среды
под
действием
системы
поверхностных
сил
и
массовых
сил
требуется
,
чтобы
результирующие сила и момент
,
действующие в этот объем
,
были равны нулю
V
n
i
t
i
F
ρ
результирующие
сила
и
момент
,
действующие
в
этот
объем
,
были
равны
нулю
Это
уравнение
при
переходе
от
интеграла
по
поверхности
к
интегралу
по
0
ds
n
t
dv
F
j
s
ij
v
i
=
∫
∫
+
ρ
у
у
объему
и
с
учетом
произвольности
объема
приводится
к
виду
Э
0
F
x
i
j
ji
=
+
∂
∂
ρ
σ
V
Эти
уравнения
называются
уравнениями
равновесия
.
Для
равновесия
моментов
относительно
начала
отсчета
требуется
,
чтобы
0
ds
n
t
x
dv
F
x
m
mk
j
s
ijk
k
j
v
ijk
=
∫
+
∫
ε
ρ
ε
Здесь
-
символы
Леви
-
Чивита
, -
компоненты
радиус
-
вектора
.
Это
уравнение
преобразуется
к
виду
s
v
ijk
ε
j
x
0
=
kj
ijk
t
ε
что
эквивалентно
условию
симметричности
тензора
напряжений
Коши
0
kj
ijk
t
ε
ji
ij
t
t
=
Свойства
тензора
напряжений
В
каждой
точке
ДТТ
компоненты
тензора
напряжений
связаны
с
вектором
напряжения
соотношением
j
ij
n
i
n
t
σ
=
Направления
,
для
которых
и
параллельны
,
называются
главными
направлениями
тензора
напряжений
.
Для
главного
направления
справедливо
равенство
j
ij
i
n
t
σ
n
i
t
i
n
р
р
д
р
Преобразуем
уравнение
к
виду
i
n
t
n
i
λ
=
(
)
0
n
=
λδ
σ
Для
того
чтобы
эта
система
имела
нетривиальное
решение
,
необходимо
,
чтобы
определитель
был
равен
нулю
(
)
0
n
j
ij
ij
=
−
λδ
σ
0
23
22
21
13
12
11
=
−
−
σ
λ
σ
σ
σ
σ
λ
σ
33
32
31
−
λ
σ
σ
σ