Материал: Механика деформируемого твердого тела
Уравнения
теории
старения
Пренебрегая
упругой
деформацией
,
уравнение
теории
ползучести
можно
постулировать
в
виде
t
β
ε
ϕ
σ
+
=
1
)
(
где
функция
и
коэффициент
,
вообще
говоря
,
зависят
от
температуры
.
Содерберг
использовал
в
расчетах
на
ползучесть
следующий
вариант
теории
старения
,
учитывающий упругую деформацию среды
:
t
β
+
1
ϕ
β
старения
,
учитывающий
упругую
деформацию
среды
:
При
больших
временах
первым
слагаемым
(
упругой
деформацией
)
можно
пренебречь
по
сравнению
со
вторым
(
деформацией
ползучести
).
В
этом
случае
.
)
(
m
t
E
σ
σ
ε
Ω
+
=
диаграмма
ползучести
описывается
уравнением
Поэтому
график
функции
получается
путем
сжатия
диаграммы
ползучести
по
оси
ординат Уравнение кривой релаксации имеет в рамках этой теории вид
m
t
0
)
(
σ
ε
Ω
=
ординат
.
Уравнение
кривой
релаксации
имеет
в
рамках
этой
теории
вид
Беляев
и
Малинин
применили
к
решению
ряда
прикладных
задач
типа
задачи
о
ползучести
вращающегося
диска
более
общее
определяющее
уравнение
теории
(
)
.
)
(
1
0
m
t
Ω
=
ε
σ
у
р щ
щ
д
щ
р д
щ
ур
р
старения
,
которое
можно
рассматривать
также
с
позиции
теории
течения
,
1
n
B
E
σ
σ
σ
ε
σ
ψ
σ
ψ
ε
+
=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
&
&
&
&
Теория
течения
В
теории
течения
скорость
деформации
ползучести
представляет
собой
функцию
,
зависящую
от
напряжения
,
температуры
и
времени
.
Если
опустить
параметр
температуры
,
то
определяющее
уравнение
примет
вид
)
(
)
(
n
c
t
B
t
f
&
Здесь
–
показатель
ползучести
,
который
обычно
полагается
равным
2 .
Впервые
вариант
этой
теории
с
учетом
упругой
деформации
материала
рассмотрел Дейвенпорт В его модели постулировалось уравнение
.
)
(
)
,
(
n
c
t
B
t
f
σ
σ
ε
=
=
1
>
n
рассмотрел
Дейвенпорт
.
В
его
модели
постулировалось
уравнение
Если
функция
зависит
только
от
температуры
и
не
зависит
от
,
то
модель
б
,
)
(
n
c
e
t
B
E
σ
σ
ε
ε
ε
+
=
+
=
&
&
&
&
B
t
допускает
преобразование
сдвига
по
времени
.
Диаграмма
ползучести
задается
в
теории
течения
уравнением
.
)
(
:
0
0
0
0
0
∫
+
=
+
=
=
t
n
n
n
t
B
E
d
B
E
B
σ
σ
ϑ
ϑ
σ
σ
ε
σ
ε
&
Процесс
релаксации
напряжений
подчиняется
обыкновенному
дифференциальному
уравнению
0
n
BE
σ
σ
−
=
&
с
начальным
условием
.
Следовательно
,
0
0
ε
σ
E
=
(
)
).
t
(
0
BEt
)
1
m
(
)
t
(
)
m
1
(
1
m
1
0
∞
→
→
−
+
=
−
−
σ
σ
Теория
упрочнения
Теория
упрочнения
при
ползучести
учитывает
зависимость
свойств
материала
от
достигнутой
деформации
.
Определяющее
уравнение
этой
теории
имеет
вид
).
(
)
(
c
c
g
f
ε
σ
ε
=
&
Один
из
вариантов
задания
функций
и
,
характеризующих
свойства
материала
,
состоит
в
следующем
:
При таком задании функция
при
стремится к отличному от нуля конечному
f
g
.
)
(
,
)
(
α
σ
ε
ε
σ
=
=
g
e
K
f
A
)
(
σ
f
0
→
σ
При
таком
задании
,
функция
при
стремится
к
отличному
от
нуля
конечному
пределу
.
Следовательно
,
скорость
деформации
ползучести
не
равна
нулю
даже
в
ненапряженном
состоянии
образца
.
В
рамках
теории
упрочнения
диаграмма
ползучести
материала
описывается
обыкновенным
дифференциальным
уравнением
( ):
)
(
σ
f
0
→
σ
ε
ε
≈
c
решение
которого
,
удовлетворяющее
начальному
условию
,
имеет
вид
,
0
A
e
K
σ
α
ε
ε
=
&
(
)
.
)
1
(
)
(
)
1
(
1
0
+
+
=
α
σ
α
ε
t
e
K
t
A
0
)
0
(
=
ε
Кривые
релаксации
определяются
в
результате
интегрирования
дифференциального
уравнения
A
e
K
E
E
σ
α
σ
σ
ε
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
&
0
Интегрируя
уравнение
с
учетом
начального
условия
,
имеем
⎠
⎝
0
0
ε
σ
E
=
.
)
(
1
,
)
(
0
1
1
0
ς
ς
σ
σ
σ
σ
ς
σ
α
α
σ
α
d
e
KE
t
e
KE
A
A
−
+
+
∫
−
−
=
=
−
−
&
0
σ
KE
Задача
обратной
ползучести
В
рамках
модели
вязкоупругой
среды
Поинтинга
–
Томсона
определить
зависимость
деформации
от
времени
при
ступенчатом
нагружении
образца
,
считая
,
что
на
интервале
времени
,
где
–
время
релаксации
,
действовало
)
2
,
0
(
τ
E
η
τ
=
2
напряжение
,
которое
в
момент
времени
мгновенно
упало
до
нуля
.
Реологическая
схема
модели
Поинтинга
–
Томсона
представляет
собой
последовательное
соединение
упругого
элемента с модулем Юнга
и схемы Кельвина
–
Фойхта На
)
,
(
η
0
σ
0
E
τ
2
=
t
элемента
с
модулем
Юнга
и
схемы
Кельвина Фойхта
.
На
этапе
нагружения
,
имеем
Реологическая
схема
Поинтинга
–
Томсона
0
E
)
2
,
0
(
τ
∈
t
(
)
.
1
)
(
0
0
0
τ
σ
σ
ε
t
e
E
E
t
−
−
+
=
К
началу
разгрузки
деформация
образца
,
вычисленная
по
этой
формуле
,
равна
В процессе разгрузки деформация упругого элемента с
0
2
−
→
τ
t
(
)
.
1
2
0
0
0
−
−
+
=
e
E
E
σ
σ
ε
В
процессе
разгрузки
деформация
упругого
элемента
с
модулем
мгновенно
падает
до
нуля
,
поэтому
к
моменту
:
Дальнейшее
деформирование
описывается
уравнением
0
2
+
→
τ
t
(
)
.
1
2
0
E
e
−
−
=
σ
ε
σ
График
зависимости
изображен
на
рисунке
внизу
.
.
e
)
1
e
(
E
)
t
(
t
2
0
τ
σ
ε
−
−
=
)
(
t
ε
Диаграмма
обратной
ползучести
Задача
ползучести
стержневой
системы
у
р
Три
одинаковых
стержня
длиной
и
сечением
,
образующие
два
правильных
треугольника
,
нагружены
силой
в
общей
вершине
.
Необходимо
определить
,
как
со
временем
изменяются
напряжения
и
деформации
стержней
.
l
S
P
Решение
будем
строить
в
рамках
теории
течения
при
ползучести
,
учитывая
упругие
деформации
.
Напряжение
и
деформацию
в
стержнях
отметим
соответствующими
индексами
.
Уравнение
равновесия
сил
в
точке
приложения
имеет
вид
:
cos
2
P
P
S
S
+
+
π
Схема
нагружения
В
начальный
момент
времени
стержни
находятся
в
упругом
состоянии
,
отсюда
Из геометрических соображений
.
:
3
cos
2
2
1
2
1
S
P
S
S
=
+
=
+
σ
σ
σ
σ
.
:
,
2
1
2
2
1
1
ES
P
E
E
=
+
=
=
ε
ε
ε
σ
ε
σ
2
ε
ε
=
Из
геометрических
соображений
При
При
стержни
деформируются
в
условиях
ползучести
.
По
теории
течения
,
2
2
1
ε
ε
=
0
=
t
.
3
,
3
2
,
3
,
3
2
0
2
0
1
0
2
0
1
ES
P
ES
P
S
P
S
P
=
=
=
=
ε
ε
σ
σ
0
>
t
)
2
1
(
2
=
+
=
j
B
E
j
j
j
σ
σ
ε
&
&
Кроме
того
,
Справедливо
соотношение
Ползучесть приводит к перераспределению напряжений в стержневой системе
:
напряжение
)
2
,
1
(
.
=
+
=
j
B
E
j
j
j
σ
σ
ε
1
2
σ
σ
−
=
S
P
.
2
2
1
2
1
1
2
1
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
−
=
+
σ
σ
σ
σ
S
P
B
E
B
E
&
&
Ползучесть
приводит
к
перераспределению
напряжений
в
стержневой
системе
:
напряжение
в
центральном
стержне
снижается
,
а
в
боковых
–
растет
.
Характерное
время
релаксации
напряжения
обратно
пропорционально
величине
условного
напряжения
.
BEP
S
k
2
2
3
1
=
=
τ
S
P