Материал: МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (случайные события) (110

Для вычисления числа благоприятствующих рассматриваемому событию исходов или общего числа элементарных исходов часто используются формулы комбинаторики.

Если составляются такие комбинации из п элементов по т, которые отличаются друг от друга только составом элементов, то они называются сочетаниями. Общее число сочетаний из п элементов по т определяется по формуле

Если комбинации отличаются не только составом элементов, но и порядком их следования, то они называются размещениями. Их число находится по формуле

Если комбинации берутся из всех п элементов и отличаются только порядком следования элементов, то они называются перестановками.

Их число равно

Рп = п!.

Пример 1. Среди 25 студентов группы, в которой 10 девушек, разыгрывается 5 билетов. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 2

девушки.

Решение: Число всех равновозможных случаев распределения 5 билетов среди 25 студентов равно числу сочетаний из 25 элементов по 5, то есть С255 . Число групп по трое юношей из 15, которые могут получить билеты, равно С153 . Каждая такая тройка может сочетаться с любой парой из десяти девушек, а число таких пар равно С102 . Следовательно, число групп по 5 студентов, образованных из группы в 25

студентов, в каждую из которых будут входить трое юношей и две девушки, равно произведению С153 С102 . Это произведение равно числу благоприятствующих случаев распределения пяти билетов среди студентов группы так, чтобы три билета получили юноши и два билета - девушки.

6

В соответствии с формулой классического определения вероятности находим искомую вероятность

Пример 2. Из коробки, содержащей 7 пронумерованных жетонов, вынимают один за другим, все находящиеся в ней жетоны и укладывают в ряд друг за другом. Найти вероятность того, что номера вынутых жетонов будут идти по порядку: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Решение: Из семи различных элементов можно составить Р7 перестановок. Р7 = 7! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 5040. Значит, всего равновозможных исходов будет 5040, а благоприятствующих данному событию – только один. Следовательно,

Пример 3. Пять молочных фирм, занумерованных от 1 до 5, проходят проверку качества выпускаемой продукции. Какова вероятность того, что первые три места займут фирмы под номерами 1, 2, 3 соответственно?

Решение: Порядок очень важен, поэтому число различных вариантов равно:

А благоприятствующих для нашего события исходов только 1. Поэтому

7

Теоремы сложения и умножения вероятностей

События называются несовместными, если они не могут появиться вместе в одном испытании.

Если одно из событий произойдет обязательно, то такие события образуют полную группу.

Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из рассматриваемых событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице. Произведением событий называется событие, состоящее в появлении всех из

рассматриваемых событий.

Вероятность события В, вычисленная при условии, что произошло событие А, называется условной вероятностью события В относительно события А. Эта вероятность обозначается Р(В/А).

Теорема умножения вероятностей двух событий. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго относительно первого:

Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) = Р(В)Р(А/В).

Эта теорема обобщается на любое конечное число событий:

P(ABC…LM) = P(A)P(B/A)P(C/AB)…P(M/AB…L).

Если появление одного из событий не влияет на вероятность появления другого, то такие события называются независимыми.

Для независимых событий вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий. Для двух независимых событий

Р(АВ) = Р(А)Р(В).

События называются совместными, если они могут появиться одновременно в одном опыте.

8

Теорема сложения вероятностей двух совместных событий. Вероятность сложения двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).

Пример 4. На полке находятся 10 книг, расставленных в произвольном порядке. Из них три книги по экономике, три – по статистике, четыре – по математике. Студент случайным образом достает одну книгу. Какова вероятность того, что он возьмет книгу по экономике или по математике?

Решение: Пусть событие А – студент взял книгу по экономике, а событие В – студент взял книгу по математике. Их вероятности соответственно равны (по классическому определению вероятности):

События А и В несовместны. Поэтому, искомая вероятность находится как сумма вероятностей:

Р(А+В) = 0,3 + 0,4 = 0,7.

Пример 5. Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена равна 0,9,

а для второго – 0,8. Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен?

Решение: Пусть событие А – попадание первого спортсмена в мишень, В – попадание второго спортсмена в мишень, С – попадание хотя бы одно из спортсменов. Очевидно, А + В = С, причем события А и В совмес тны. Тогда

Р(А+В) = Р(С) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ),

так как А и В – независимые события, то подставляя данные значения Р(А) = 0,9, а Р(В) = 0,8 в формулу, получаем

Р(С) 0,8 0,9 0,8 0,9 1,7 0,72 0,98 .

Пример 6. В урне 6 черных шаров, 5 красных и 4 белых шара. Из урны поочередно извлекают шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом извлечении появится черный шар, при втором – красный, при третьем

– белый.

9

Решение: Пусть событие А – первый шар черный, событие В – второй шар красный, С - третий шар белый. Вероятность появления черного шара при первом

извлечении Р(А) = 156 52 . Вероятность появления красного шара во втором извлечении, вычисленная в предположении, что в первый раз появился черный

5

шар, то есть условная вероятность Р(В/А) = 14 . Вероятность появления белого

шара в третьем извлечении, вычисленная в предположении, что в первый раз появился черный шар, во второй – красный, то есть условная вероятность Р(С/АВ)

4 = 13 . По теореме о произведении зависимых событий, получаем

Р( АВС) Р( А)Р(В / А)Р(С / АВ) 52 145 134 0,044.

Пример 7. В каждом из трех ящиков находится по 30 деталей. В первом ящике 27, во втором 28, в третьем 25 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Какова вероятность того, что все извлеченные детали окажутся стандартными.

Решение: Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь