Материал: МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (случайные события) (110

Пусть события А1,А2,, ..., Ап независимы и известны вероятности этих событий:

Р(А1) = р1, Р(А2) = р2, ..., Р(Ап) = рп.

Обозначив вероятности противоположных событий

Р( A 1) = q1, Р( A 2) = q2, ..., Р( A п) = qn,

найдем вероятность того, что ни одно из событий А1, А2, ..., Аn в опыте не наступит:

Р(В) = q1q2 …qn.

В этом случае искомая вероятность, т.е. вероятность появления хотя бы одного события, определяется как вероятность противоположного со бытия

P(B) 1 P(B) 1 q1q2 …qn.

Пример 7. Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими фирмами соответственно равны 0,5; 0,7; 0,9. Найти вероятность своевременного выполнения задания хотя бы одной фирмой. Решение: Пусть событие А – своевременное выполнение задания хотя бы одной фирмой. Ему противоположным будет À - ни одна фирма не уложилась в срок. Тогда вероятности невыполнения задания в срок фирмами соответственно равны: 0,5; 0,3; 0,1. Так как они работают независимо друг от друга, то

Р( А) 1 Р( А) 1 0,5 0,3 0,1 0,985 .

Формула полной вероятности и формула Байеса. Если некоторое событие В совершается с одним из n несовместных событий A1, A2, ..., Аn образующих полную группу событий, то для определения вероятности этого события может быть использована формула полной вероятности

n

P(B) P( Ai )P(B / Ai ),

i 1

где P(Ai) — вероятность события Аi; P(B/Ai) — условная вероятность события В.

Для определения вероятности события Ai при условии, что произошло событие В, используется формула Байеса

11

P( Ai / B) P( Ai )P(B / Ai ) .

Пример 8. На автозавод поступили двигатели от трех моторных заводов. От первого завода поступило 10 двигателей, от второго – 6 , от третьего – 4 двигателя. Вероятности безотказной работы этих двигателей в течение гарантийного срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность того, что:

а) установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в течение гарантийного срока;

б) проработавший без дефекта двигатель изготовлен на первом заводе?

Решение: Обозначим через А1, А2, А3 события установки на машину двигателей, изготовленных соответственно на первом, втором, третьем моторных заводов. Вероятности этих событий равны:

Р(А1) = 0,5; Р(А2) = 0,3; Р(А3) = 0,2.

а) Вероятность того, что наугад взятый двигатель проработает без отказа в

течение гарантийного срока (событие В), найдем по формуле полной вероятности:

Р(В) = Р(А1) Р(В/А1) + Р(А2) Р(В/А2) + Р(А3)

Р(В/А3) 0,5 0,9 0,3 0,8 0,2 0,7 0,83.

б) Если двигатель проработал без дефектов гарантийный срок, то вероятность того, что он изготовлен на первом заводе, найдем по формуле Байеса:

Формулa Бернулли. Если при проведении испытаний вероятность появления события А не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми.

Формула Бернулли определяет вероятность появления ровно m раз события А в серии из п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р:

Pn (m) Сnm pm qn m ,

где

12

В ряде случаев требуется определить вероятности появления события А менее т раз (X < т), более т раз (X > т), не менее т раз (X ≥ т), не более т раз (X ≤ т).

В этих случаях могут быть использованы формулы

P(X < т) = Рn(0) + Рn(1) + ... + Рп(т - 1),

P(X > т) = Рп(т + 1) + Рп(т + 2) + ... + Рп(п), Р(Х ≥ т) = Рn(m) + Рn(m + 1) + ... + Рп(п), Р(Х ≤ m) = Рn(0) + Рn(1) + ... +Pn(m).

Вероятность наступления события А хотя бы один раз при проведении n независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, равна

Pn (m 1) 1 q n , где q = 1 - p

Наивероятнейшее значение m0 числа наступления события А в n независимых испытаниях, удовлетворяющих схеме Бернулли, вычисляется по формуле

np - q ≤ m0 ≤ np + p.

Пример 9. Магазин получил 50 пар обуви. Вероятность брака в партии равна 0,05. Найти наиболее вероятное число бракованных пар обуви в этой партии.

Решение. Проводится 50 повторно-независимых испытаний с двумя исходами в каждом (брак, стандарт). Вероятность появления бракованной пары обуви в каждом испытании постоянна и равна р = 0,05; тогда q = 0,95.

Считаем по формуле:

50 0,05 0,95 m0 50 0.05 0.05

1,55 ≤ m0 ≤ 2,55

Так как число пар обуви может быть только целым, то наиболее вероятное число бракованных пар в этой партии равно 2.

13

Приближенные формулы в схеме Бернулли. При большом числе опытов по схеме Бернулли удобнее пользоваться приближенными формулами.

1. Локальная формула Муавра-Лапласа.

(х) функция вероятности нормального распределения имеет следующие

свойства:

1)(х) четная, то есть ( х) (х). ;

2)точки перегиба х = 1;

3)при х ≥ 4, (х) 0 , поэтому функция (х) представлена в виде таблицы

(затабулирована) для 0 ≤ х ≤ 5 (прил. 1).

2. При больших n и малых р вычисления по формуле Бернулли достаточно трудны и грамоздки.

В этих случаях обычно используется формула Пуассона

P n (m) m e , np. m!

Значения функции даны в приложении 2.

Пример 10. Стрелок выполнил 400 выстрелов. Найти вероятность 325 попаданий, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8.

Решение: npq 400 0.8 0.2 64 10 , следовательно, по формуле Муавра-

Лапласа:

Пример 11. Завод отправил 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути разбили одно изделие, 0,0002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено 3 изделия.

3. при больших значениях n, для вычисления вероятности того, что произойдет от k1 до k2 событий по схеме Бернулли, используется интегральная формула МуавраЛапласа:

Рn (k1 ≤ m ≤ k2) = Ф(х2) - Ф(х1),

где х1 к1 np , x2 к2 np ,Ф(x) функция Лапласа. npq npq

Ф(х) имеет следующие свойства:

1) Ф(-х) = - Ф(х) - функция нечетная, поэтому достаточно применять ее для неотрицательных значений х:

2)функция Ф(х) возрастает на всей числовой оси;

3)при х ≥ 4, Ф(х) 12 ( у 0,5 горизонтальная асимптота при х > 0), поэтому

функция представлена в виде таблицы для 0 ≤ х ≤ 5 (прил. 1); Пример 12. Стрелок выполнил 400 выстрелов, вероятность одного

попадания равна 0,8. Найти вероятность того, что он попадет от 310 до 325 раз. Решение. Р400 (310 ≤ х ≤ 325) = Ф(х2) - Ф(х1), где

Р400 (310 ≤ х ≤ 325) Ф(0,63) - Ф(-1,25) = Ф(0,63) + Ф(1,25) =

= 0,2357+ 0,3944 = 0,6301.

15