Материал: Методические указания к практическим занятиям по дисциплинам «Информационные операции и атаки в распределенных системах». Плотников Д.Г
А
|
|
Расчет |
|
|
|
Значение |
среднеквадра- |
Данные |
из |
||
тического |
|||||
Табл. 3-10 |
|
||||
|
|
отклонения |
|
||
|
|
|
|
||
|
|
ущерба |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расчет |
|
|
|
Значения |
третьего и |
Данные |
из |
||
четвертого |
|||||
|
|
||||
|
и |
Табл. 3-10 |
|
||
центральных |
|
||||
3 |
4 |
|
|
||
|
|
моментов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расчет |
|
|
|
Значения |
ассиметрии и |
Данные |
из |
||
|
и |
эксцесса |
Табл. 3-10 |
|
|
|
|
риска |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Конец
Рис. 1. Блок-схема упрощенного алгоритма расчета параметров риска (продолжение)
Воспользовавшись данными алгоритмами, можно рассчитать риск-параметры компонент системы с последующим обобщением ее анализом с учетом вклада всех компонентов. На этапе оценки риска компонента системы возможны две статегии:
– экстремальная оценка
Risk(экс) = mu ± σu = u0 ± σ0
– средняя оценка
Risk(ср) = mu ± σu = M0 ± σ .
Данные таблицы приемлимы не только для рисков, но и для шансов системы.
24
Начало
Задание вида и параметров распределения плотности вероятности ущерба
Расчет первых трех начальных компонентов распределения
Ввод данных в выражения Табл. 3-10
Расчет среднего значения ущерба и среднеквадратического отклонения
Расчет моды риска и его среднеквадратического отклонения
Вывод расчитаных значений для анализа системы
Конец
Рис. 2. Блок-схема упрощенного алгоритма расчета параметров риска для компонентов систем
25
2. АЛГОРИТМИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ РИСКАНАЛИЗА СИСТЕМ В ДИАПАЗОНЕ УЩЕРБОВ
Рассмотрим экспоненциальное семейство распределений плотности вероятности φ(u) наступления ущерба с областью определения u>0. К таковым относятся логнормальное, экспоненциальное и гамма-распределения, распределения Релея, Вейбула и Эрланга. Соответствующие им аналитические выражения риска представлены в табл. 11.
Анализ аналитических выражений риска (табл. 11) позволяет для первых пяти видов распределения сделать следующее обобщение
Risk(x) = |
axb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
, |
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
exp(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
где: x = λu, (λu)2, (λu)d; b = |
1 |
, 1, n; a = 1,2, |
|
λс |
, |
1 |
|
|
|
, d. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
Г(с) |
(n−1)! |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 11 |
|||||||||
Анализ аналитических выражений риска |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Вид распределения |
Аналитическое выражение для риска |
||||||||||||||||||||||||||||||
плотности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вероятности ущерба |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Экспоненциальный |
|
|
|
|
Risk(u) |
= |
|
|
|
|
|
λu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
exp(λu) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Релея |
|
|
|
|
Risk(u) |
= |
|
2(λu) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
exp(λu)2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Гамма |
|
|
|
|
Risk(u) = |
|
|
|
λс |
|
|
|
(λu)с |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Г(с) exp(λu) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Эрланга |
|
|
Risk(u) = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(λu)n |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
(n − 1)! |
|
exp(λu) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Вейбулла |
|
|
|
|
Risk(u) = d |
|
|
|
|
(λu)d |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
exp[(λu)d] |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Логнормальный |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Risk(u) = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
exp [ |
(ln u − m)2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
σ√2π |
] |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2σ2 |
|
|
|
|
|||||
26
С целью нахождения значений ущерба по заданному уровню риска для (1) составим следующее уравнение
Rmax k = |
axb |
, |
(2) |
|
exp(x) |
||||
|
|
|
где: Rmax – пиковое значение риска;
k– коэффициент (k<1) задающий уровень отсчета от Rmax. Для поиска решения уравнения (2) прологарифмируем его
ln a + bln x − x = ln Rmax + ln k.
Далее разложим натуральный логарифм в ряд
|
x − 1 |
|
1 |
|
x − 1 |
|
3 |
||
ln a + 2b [ |
|
|
+ |
|
( |
|
) |
+] − x = ln Rmax + ln k. |
|
x + 1 |
3 |
x + 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
Ограничимся первыми двумя членами ряда. Здесь погрешность составит для x=2 менее 1%, а для x=4 около 3%. Принимая данную погрешность допустимой, запишем уравнение
x − 1 1 x − 1 3
ln a + 2b [x + 1 + 3 (x + 1) ] − x = ln Rmax + ln k.
Произведем следующую замену переменных
y = |
x−1 |
, где область определения -1<y<1. |
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
x+1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Соответственно обратное преобразование будет иметь |
|||||||||||||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + y |
|
|||||
|
|
|
|
|
x = |
|
. |
|
|
|
(3) |
||||
|
|
1 − y |
|||||||||||||
В результате получим уравнение |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2b [y + |
1 |
y3] − |
1 + y |
= c, |
(4) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
|
1 − y |
|
|||||||||||
где с = ln Rmax + ln k − ln a. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Приводя (4) к общему знаменателю, получаем |
|
||||||||||||||
2by(1 − y) + |
2b |
y3(1 − y) − (1 + y) = c(1 − y). |
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Далее сгруппируем члены по степеням и в результате |
|||||||||||||||
получим уравнение четвертой степени |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y4 − y3 + 3y2 + 3 ( |
1 − с |
− 1) y + |
3 |
(1 + c) = 0, |
(5) |
||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2b |
|
|
2b |
|
||||||
27
которое, как известно может быть решено в аналитическом виде. Два корня этого уравнения будут комплексными числами, а два других, имеющими физический смысл, действительными. Для них следует произвести обратное преобразование (3) и получить значения x1 и x2. Графически это решение можно проиллюстрировать с помощью рис. 11. Соответствующий алгоритм представлен на рис. 4.
Risk
Rmax
Rmax k
x
Рис. 3. Границы ущербов по заданному уровню риска
Начало
Ввод значений параметров распределения (1)
Расчет промежуточных параметров (4)
Решение уравнения (5)
Выполнение обратного преобразования
Конец
Рис. 4. Блок-схема алгоритма поиска граничных значений ущерба по заданному уровню риска
28