Материал: Методические указания к самостоятельным работам по дисциплине «Моделирование систем и сетей телекоммуникаций» для студентов специальности «Информационная безопасность телекоммуникационных систем». Разинкин К.А

функционалы от них, обычно начальные, смешанные и центральные моменты, корреляционные функции, взаимно корреляционные функции, которые являются характеристиками сети. С этих позиций в последующих главах этой части осуществляется развитие точных методов определения этих нестационарных характеристик РСеМО – вышеуказанных функционалов от нестационарных распределений вероятностей состояний разомкнутых сетей массового обслуживания,

при произвольных начальных условиях и постоянных параметрах РСеМО в следующих направлениях:

1. Нахождение явного аналитического вида нестационарных математических ожиданий количества требований в узлах.

Итак, вместо решения бесконечной системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами разрабатывается метод нахождения для нестационарных математических ожиданий количества требований в узлах системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами порядка, равного числу узлов в сети, на базе метода стохастических разностных уравнений. Для решения этой системы уравнений будет использовано преобразование Лапласа с последующим его обращением и получением явного аналитического вида для искомых нестационарных математических ожиданий. Обращение преобразование Лапласа будет проводиться с использованием операции определения корней полинома т-ой степени, где m количество узлов в сети.

Заметим, что из теоремы 2.1 следуют уравнения для нестационарных математических ожиданий, но только в случае, когда начальные условия не являются произвольными, а имеют конкретный вид произведения пуассоновских распределений количества требований в узлах. Ставится же задача нахождения нестационарных математических ожиданий для произвольных начальных условий.

2. Нахождение системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами для нестационарных начальных смешанных моментов второго

34

порядка количества требований в узлах. Решение этой системы с получением явного аналитического вида при использовании преобразования Лапласа и последующим определением корней

аналогично вышеуказанному решению системы уравнений для нестационарных математических ожиданий количества требований в узлах сети кроме одного обстоятельства. Это обстоятельство состоит в том, что решение выражается через нестационарные математические ожидания количества требований в узлах сети в виде рекуррентных формул.

3.Нахождение системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами для нестационарных начальных и смешанных моментов произвольного порядка количества требований в узлах. Решение этой системы с получением явного аналитического вида при использовании преобразования Лапласа и последующим определением корней полинома и его обращением, конечно, значительно более громоздко вследствие существенного возрастания размерности системы уравнений, но, по существу, полностью аналогично вышеуказанному решению системы уравнений для нестационарных математических ожиданий количества требований в узлах сети за исключением также одного обстоятельства. Здесь это обстоятельство состоит в том, что решение выражается через нестационарные начальные и смешанные моменты количества требований в узлах сети порядка, на 1 меньшего, в виде рекуррентных формул.

Далее движение по этим рекуррентным формулам приводит к выражению искомых моментов через нестационарные математические ожидания количества требований в узлах сети, для которых решается в виде, указанном в пункте 1.

4.Далее производится обобщение на разные классы требований и т. д.

Осуществляется также развитие итерационных методов определения вышеуказанных функционалов от нестационарных распределений вероятностей состояний разомкнутых сетей

35

массового обслуживания при произвольных начальных условиях

и параметрах РСеМО, зависящих от времени и нестационарных начальных и смешанных моментов, в тех же направлениях.

Задачи определения нестационарных моментов для разомкнутой сети массового обслуживания

Для разомкнутых сетей массового обслуживания (РСеМО) с экспоненциально распределенными длительностями обслуживания и входящим пуассоновским потоком получение искомых вероятностных характеристик производится из вероятностей состояний, для которых в нестационарном случае составляются системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Находя вероятности состояний из этих уравнений, далее определяются искомые вероятностные характеристики, в частности, математические ожидания количества требований в узлах РСеМО и другие моменты. Размерность систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка для вероятностей состояний для РСеМО, как правило, весьма велика, как указывалось выше, во многих случаях она равна бесконечности.

Получение численных, а тем более аналитических, решений систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка для вероятностей состояний в нестационарном случае при указанных выше размерностях уже представляет проблему.

Если нас интересуют математические ожидания количества требований в узлах СеМО в нестационарном случае и при этом можно было бы составлять уравнения непосредственно для них, то в этом случае было бы всего т уравнений. Здесь, как и в общем случае, возникают две задачи.

Первая задача: выяснить условия, при которых можно составлять системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка сразу для математических ожиданий количества требований в узлах РСеМО, причем в эти уравнения не должны входить вероятности отдельных состояний, а также для других моментов (начальных, центральных) и для других характеристик этих количеств, если

36

можно. Как указывалось выше, условие, чтобы в системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка для математических ожиданий не входили вероятности отдельных состояний, существенно, ибо для нахождения их надо решать исходную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка для всех вероятностей состояний.

Вторая задача: при выполнении условий задачи 1 предложить и обосновать способ составления системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка сразу для нестационарных математических ожиданий количества требований в узлах РСеМО, в которые бы не входили вероятности отдельных состояний.

Примеры определения нестационарных моментов для разомкнутой сети массового обслуживания

Для того чтобы понять специфику проблемы определения нестационарных моментов для РСеМО, приведем несколько примеров.

Пример 1. Рассмотрим систему М/М/1 с интенсивностью входящего пуассоновского потока и интенсивностью обслуживания . Для вероятностей состояний имеем следующую систему дифференциальных уравнений:

уравнение для математического ожидания количества требований в системе в нестационарном случае

37

(В стационарном случае m'(t) = 0 и из этого уравнения

Как видно из полученного уравнения, в него входит вероятность P0(t), т.е. в этом случае не удовлетворяется требование задачи 1.

Пример 2. Рассмотрим разомкнутую СеМО с двумя узлами с потерями. Входящий поток является пуассоновским с параметром . Поступающее требование с вероятностью Pi

поступает на i-ый узел, i = 1,2. Длительность обслуживания в обоих узлах имеет экспоненциальные распределения с параметрами 1 , и 2 соответственно. Система дифферен-

циальных уравнений для вероятностей состояний для этой СеМО имеет вид

удовлетворяется требование задачи 1.

Таким образом, можно сделать следующие выводы:

- наличие очередей в СМО, которое имеет место в

38